النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

الموضوع: كيف نحسب المساحة تحت أي منحنى بين نقطتين باستخدام التكامل

الفكرة المحورية: المساحة بين $a$ و $b$ = $F(b) - F(a)$

الهدف: فهم لماذا هذه النظرية تحوّل مشكلة هندسية صعبة إلى عمليات جبرية بسيطة

١ النظرية الأساسية

المساحة تحت منحنى

f(x)

بين

a

b

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

حيث

F(x)

هي التكامل (دالة التراكم) لـ

f(x)

الخطوات العملية:
① اوجد التكامل

F(x)

من

f(x)

② عوّض بـ

b

لتحصل على

F(b)

③ عوّض بـ

a

لتحصل على

F(a)

④ احسب

F(b) - F(a)

— هذه هي المساحة

٢ لماذا هذه النظرية قوية؟

📐

العالم الهندسي

حساب المساحة تحت منحنى بأي شكل — صعب جداً بالهندسة

⟵

🔑

النظرية الأساسية

F(b) - F(a)

⟵

🔢

العالم الجبري

تعويض وجمع وطرح — سهل!

الفكرة: مهما كان شكل المنحنى معقداً، طالما نعرف تكاملها فموضوع حساب المساحة بين أي نقطتين يصبح مجرد تعويض في

F(b) - F(a)

٣ مثال ١ — $f(x) = x$ ، المساحة من $3$ إلى $7$

الحل خطوة بخطوة:
① نجد تكامل

f(x) = x

F(x) = \dfrac{x^2}{2} + C

② نعوّض بـ

b = 7

F(7) = \dfrac{7^2}{2} + C = \dfrac{49}{2} + C

③ نعوّض بـ

a = 3

F(3) = \dfrac{3^2}{2} + C = \dfrac{9}{2} + C

④ نطرح

F(7) - F(3)

\left(\dfrac{49}{2} + C\right) - \left(\dfrac{9}{2} + C\right) = \dfrac{49}{2} - \dfrac{9}{2} = \dfrac{40}{2} = \mathbf{20}

المساحة تحت

f(x) = x

من

3

إلى

7

= 20

٤ لماذا يختفي ثابت $C$ ؟

عند حساب

F(b) - F(a)

، الـ

C

تظهر في كلا الطرفين:

\bigl(F(b) + C\bigr) - \bigl(F(a) + C\bigr) = F(b) - F(a) + \underbrace{C - C}_{= 0}

النتيجة:

C

تُلغى دائماً عند حساب التكامل المحدد — لهذا لا نكتبها في الحسابات النهائية.

٥ مثال ٢ — $f(x) = x^3$ ، المساحة من $1$ إلى $3$

الحل خطوة بخطوة:
① نجد تكامل

f(x) = x^3

F(x) = \dfrac{x^4}{4} + C

② نعوّض بـ

b = 3

F(3) = \dfrac{3^4}{4} = \dfrac{81}{4}

③ نعوّض بـ

a = 1

F(1) = \dfrac{1^4}{4} = \dfrac{1}{4}

④ نطرح

F(3) - F(1)

\dfrac{81}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{80}{4} = \mathbf{20}

المساحة تحت

f(x) = x^3

من

1

إلى

3

= 20

٦ مقارنة المثالين

الدالة $f(x)$	النطاق	التكامل $F(x)$	$F(b) - F(a)$	المساحة
$x$	$[3,\ 7]$	$\dfrac{x^2}{2}$	$\dfrac{49}{2} - \dfrac{9}{2} = \dfrac{40}{2}$	20
$x^3$	$[1,\ 3]$	$\dfrac{x^4}{4}$	$\dfrac{81}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{80}{4}$	20

ملاحظة: كلا المثالين أعطيا مساحة = 20، رغم اختلاف شكل الدالة والنطاق — وهذا يُظهر قوة النظرية في تحويل أي مشكلة هندسية إلى حساب جبري بسيط.

٧ الخلاصة

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

تعويض، طرح، خلاص!

ما تعلمناه:
— النظرية الأساسية تجمع عالمَي الهندسة والجبر في معادلة واحدة
— لحساب المساحة بين

a

b

: اوجد

F(x)

ثم احسب

F(b) - F(a)

— ثابت

C

يُلغى دائماً — لهذا لا نكتبه في التكامل المحدد
— مهما كان المنحنى معقداً، الخطوات دائماً نفسها: تكامل ثم تعويض

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

اختبر فهمك

الشرح