حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الضرب الداخلي بين المتجهات (Dot Product)

في هذا الدرس سنتعلم مفهومين مهمين في الضرب الداخلي بين المتجهات.

المفهوم الأول هو كيفية حساب الضرب الداخلي بين متجهين.

أما المفهوم الثاني فهو كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين باستخدام نتيجة الضرب الداخلي.

كيفية حساب الضرب الداخلي

لحساب الضرب الداخلي بين متجهين بالصورة الإحداثية، نضرب الإحداثي السيني في الإحداثي السيني المناظر له، ثم نضرب الإحداثي الصادي في الإحداثي الصادي المناظر له، وبعد ذلك نجمع الناتجين.

أي أن:

الضرب الداخلي = (x₁ × x₂) + (y₁ × y₂)

المثال الأول

إذا كان لدينا المتجه:

⟨1 ، 3⟩

والمتجه الثاني:

⟨-2 ، -6⟩

فنحسب الضرب الداخلي كالتالي:

1 × (-2) = -2

3 × (-6) = -18

ثم نجمع الناتجين:

-2 + (-18) = -20

إذن ناتج الضرب الداخلي يساوي:

-20

ملاحظة مهمة

على عكس الضرب الاتجاهي، فإن ناتج الضرب الداخلي يكون عدداً فقط، وليس متجهاً.

وهذه من أهم خصائص الضرب الداخلي.

المثال الثاني

إذا كان لدينا المتجهان:

⟨3 ، 4⟩

و

⟨2 ، -1⟩

فنحسب الضرب الداخلي:

3 × 2 = 6

4 × (-1) = -4

ثم نجمع الناتجين:

6 - 4 = 2

إذن ناتج الضرب الداخلي يساوي:

2

إيجاد الزاوية بين متجهين

إذا عرفنا الضرب الداخلي بين متجهين، فيمكننا إيجاد الزاوية بينهما باستخدام العلاقة:

cos(θ) = (A · B) ÷ (|A| × |B|)

حيث:

- A · B هو ناتج الضرب الداخلي. - |A| هو طول المتجه الأول. - |B| هو طول المتجه الثاني.

حساب طول المتجه

إذا كان المتجه بالصورة الإحداثية ويبدأ من نقطة الأصل، فإن طوله يحسب من العلاقة:

|A| = √(x² + y²)

مثال حساب الأطوال

للمتجه:

⟨3 ، 4⟩

الطول يساوي:

√(3² + 4²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

أما المتجه:

⟨2 ، -1⟩

فطوله يساوي:

√(2² + (-1)²)

= √(4 + 1)

= √5

حساب الزاوية

بعد أن عرفنا:

- الضرب الداخلي = 2 - طول المتجه الأول = 5 - طول المتجه الثاني = √5

نعوض في القانون:

cos(θ) = 2 ÷ (5 × √5)

≈ 0.178

ثم نأخذ معكوس دالة جيب التمام (Cos⁻¹):

θ ≈ 80°

الخلاصة

لحساب الضرب الداخلي نضرب الإحداثيات المناظرة ثم نجمع النتائج، ويكون الناتج دائماً عدداً.

أما لإيجاد الزاوية بين متجهين، فنستخدم قانون جيب التمام الذي يعتمد على الضرب الداخلي وطول كل متجه.