الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates)

الإحداثيات القطبية

تعودنا في الرياضيات على استخدام الإحداثيات الديكارتية، والتي تعتمد على محورين: محور X ومحور Y.

والهدف الأساسي من هذا النظام هو أن يكون لدينا مرجع، وهو نقطة الأصل، بحيث نستطيع تحديد موقع أي نقطة في المستوى بالنسبة إلى هذا المرجع.

ما هي الإحداثيات القطبية؟

هل يمكن أن نحقق نفس الهدف بطريقة مختلفة؟

الإجابة نعم، وذلك باستخدام الإحداثيات القطبية أو النظام القطبي.

في هذا النظام يكون لدينا مرجع يسمى القطب، وهو يقابل نقطة الأصل في النظام الديكارتي، ويوجد محور واحد فقط يسمى المحور القطبي، ويمتد أفقياً إلى اليمين.

كيفية تمثيل النقاط

في النظام القطبي لا نعبر عن النقطة بإحداثيين سيني وصادي، وإنما نعبر عنها بقيمتين:

- بعدها عن القطب (r). - الزاوية (θ) التي تصنعها مع المحور القطبي.

فمثلاً:

- إذا كانت النقطة تبعد 2 عن القطب وتصنع زاوية 30°، فإن تمثيلها يكون: (2 ، 30°)

- وإذا كانت تبعد 3 عن القطب وتصنع زاوية 200°، فإن تمثيلها يكون: (3 ، 200°)

أي أن أي نقطة في المستوى يمكن تحديدها بمجرد معرفة بعدها عن القطب وزاويتها.

قياس الزوايا

تقاس الزاوية من المحور القطبي.

- إذا كانت الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة فإنها تعتبر موجبة. - وإذا كانت مع اتجاه عقارب الساعة فإنها تعتبر سالبة.

فمثلاً:

الزاوية -30° تقع أسفل المحور القطبي بمقدار 30 درجة.

تعدد تمثيل النقطة

يمكن تمثيل النقطة نفسها بأكثر من زاوية.

فمثلاً:

الزاوية:

-30°

تعادل تماماً:

330°

لأنهما تمثلان الاتجاه نفسه.

لماذا يحدث ذلك؟

كلما أضفنا 360° إلى أي زاوية فإننا نعود إلى الاتجاه نفسه مرة أخرى.

ولهذا فإن أي نقطة في النظام القطبي تمتلك عدداً لا نهائياً من التمثيلات.

مثال

إذا كانت النقطة تبعد 2 عن القطب وزاويتها:

-30°

فيمكن تمثيلها أيضاً بالصور التالية:

- (2 ، -30°) - (2 ، 330°) - (2 ، 690°) - (2 ، 1050°)

وجميع هذه الإحداثيات تمثل النقطة نفسها تماماً.

الخلاصة

يعتمد النظام القطبي على تحديد موقع النقطة باستخدام بعدها عن القطب والزاوية التي تصنعها مع المحور القطبي، بدلاً من استخدام الإحداثيين السيني والصادي.

كما أن كل نقطة في النظام القطبي يمكن تمثيلها بعدد لا نهائي من الزوايا، وذلك بإضافة أو طرح مضاعفات 360° دون أن يتغير موقعها.