التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

الشرح

التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

الموضوع: كيفية تحويل النقاط من الصيغة الديكارتية (x, y) إلى الصيغة القطبية (r, θ)

المفاهيم: قانون المسافة r، قانون الزاوية θ، التعامل مع الإشارات، حالات خاصة، دالة tan⁻¹

الهدف: إتقان التحويل من النظام الديكارتي إلى القطبي مع فهم الحالات الخاصة والاستثناءات

المقدمة

التحويل العكسي: من الديكارتية إلى القطبية يحتاج انتباه خاص للزاوية
مراجعة الدرس السابق:
تعلمنا التحويل من القطبية إلى الديكارتية:

القطبية → الديكارتية
x = r \cos(\theta)
y = r \sin(\theta)
(كانت الطريقة مباشرة جداً)
الآن نتعلم العكس:
التحويل من الديكارتية إلى القطبية

الديكارتية → القطبية
معطى: x و y
مطلوب: r و θ
(يحتاج انتباه خاص للزاوية!)
r سهلة الحساب، لكن θ تحتاج تدقيق وتفصيل

1 إيجاد المسافة r (سهل ومباشر)

قاعدة ثابتة دائماً باستخدام نظرية فيثاغورس
1
العلاقة بالمثلث القائم
الملاحظة:
• x و y يمثلان ضلعين لمثلث قائم الزاوية
• r عبارة عن الوتر (Hypotenuse) لهذا المثلث

نظرية فيثاغورس:
في المثلث القائم الزاوية:
(الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)²
2
القانون
قاعدة حساب r:

قانون ثابت دائماً
r = \sqrt{x^2 + y^2}
الجذر التربيعي لـ (x تربيع + y تربيع)
مميزات هذا القانون:
• بسيط ومباشر
• لا توجد حالات خاصة
• لا توجد استثناءات
• يعمل مع جميع القيم (موجبة أو سالبة)
• النتيجة دائماً موجبة
r = √(x² + y²) قاعدة ثابتة بدون استثناءات

2 إيجاد الزاوية θ (يحتاج تدقيق وتفصيل)

القاعدة الأساسية tan⁻¹(y/x) لكن مع حالات خاصة مهمة
1
المشكلة الأساسية
القاعدة البسيطة (لكن غير كاملة):
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

الإشكالية: نقطتان مختلفتان قد تعطيان نفس النسبة y/x!

مثال يوضح المشكلة:

النقطة الأولى: (1, 1)
• تقع في الربع الأول (أعلى اليمين)
• الزاوية = 45°
• النسبة: y/x = 1/1 = 1
النقطة الثانية: (-1, -1)
• تقع في الربع الثالث (أسفل اليسار)
• الزاوية = 180° + 45° = 225°
• النسبة: y/x = (-1)/(-1) = 1
نفس النسبة (1) لكن زوايا مختلفة (45° و 225°)!
الحل:
نحتاج قواعد إضافية لتحديد الزاوية الصحيحة بناءً على إشارة x
tan⁻¹(y/x) وحدها غير كافية - نحتاج فحص إشارة x

3 القواعد الكاملة لإيجاد θ

ثلاث حالات حسب قيمة x
1
الحالة الأولى: x موجبة (x > 0)
الشرط: x > 0 (موجبة)

القاعدة: استخدام مباشر
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
التوضيح:
• عندما x موجبة، النقطة في الجهة اليمنى (الربع الأول أو الرابع)
• القانون يعطي الزاوية الصحيحة مباشرة
• لا نحتاج إضافة شيء
2
الحالة الثانية: x سالبة (x < 0)
الشرط: x < 0 (سالبة)

القاعدة: إضافة 180°
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) + 180°
التوضيح:
• عندما x سالبة، النقطة في الجهة اليسرى (الربع الثاني أو الثالث)
• القانون المباشر يعطي زاوية خاطئة
• نحتاج إضافة 180° للحصول على الزاوية الصحيحة

ملاحظة:
دائماً نفحص إشارة x أولاً قبل الحساب!
3
الحالة الثالثة: x تساوي صفر (x = 0)
الشرط: x = 0 (لا موجبة ولا سالبة)

التحليل:
• عندما x = 0، النقطة على محور y
• إما في الأعلى (y موجبة) أو في الأسفل (y سالبة)

إذا كانت y موجبة (y > 0):
\theta = 90° = \frac{\pi}{2}
(في الأعلى على محور y)
إذا كانت y سالبة (y < 0):
\theta = -90° = -\frac{\pi}{2}
(في الأسفل على محور y)
لا نستخدم tan⁻¹ في هذه الحالة!
نحدد الزاوية مباشرة من إشارة y
دائماً نفحص إشارة x أولاً لتحديد الطريقة الصحيحة

4 أمثلة تطبيقية

تطبيق القواعد على حالات مختلفة
1
مثال (1): النقطة (2, 3)
المعطى: النقطة (2, 3) بالصيغة الديكارتية
المطلوب: تحويلها إلى الصيغة القطبية (r, θ)

الحل:

الخطوة 1: حساب r
r = \sqrt{x^2 + y^2}
r = \sqrt{2^2 + 3^2}
r = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
الخطوة 2: فحص إشارة x
x = 2 > 0 (موجبة)
النتيجة: نستخدم القانون المباشر
الخطوة 3: حساب θ
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)
\theta \approx 56.31°
النتيجة النهائية:
(\sqrt{13}, 56.31°)
2
مثال (2): النقطة (-2, 3)
المعطى: النقطة (-2, 3) بالصيغة الديكارتية
المطلوب: تحويلها إلى الصيغة القطبية

الحل:

الخطوة 1: حساب r
r = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
الخطوة 2: فحص إشارة x
x = -2 < 0 (سالبة)
النتيجة: نحتاج إضافة 180°!

الخطوة 3: حساب θ
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{-2}\right) + 180°
\theta = \tan^{-1}(-1.5) + 180°
\theta \approx -56.31° + 180° = 123.69°
النتيجة النهائية:
(\sqrt{13}, 123.69°)
3
مثال (3): النقطة (0, 5)
المعطى: النقطة (0, 5) بالصيغة الديكارتية
المطلوب: تحويلها إلى الصيغة القطبية

الحل:

الخطوة 1: حساب r
r = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5
الخطوة 2: فحص قيمة x
x = 0 (على محور y)
النتيجة: حالة خاصة!

الخطوة 3: فحص إشارة y
y = 5 > 0 (موجبة)
النتيجة: θ = 90° مباشرة
النتيجة النهائية:
(5, 90°) أو (5, \frac{\pi}{2})
دائماً: فحص إشارة x أولاً لتحديد الطريقة الصحيحة

الملخص النهائي

القوانين الأساسية

r = \sqrt{x^2 + y^2}
(دائماً نفس القانون)

x > 0

موجبة
↓
\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})
↓
مباشر

x < 0

سالبة
↓
\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + 180°
↓
نضيف 180°

x = 0

صفر
↓
y > 0: θ = 90°
y < 0: θ = -90°

النقاط الرئيسية

• r سهلة دائماً: r = \sqrt{x^2 + y^2}
• θ تحتاج فحص إشارة x أولاً
• إذا x موجبة: \theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) مباشرة
• إذا x سالبة: نضيف 180° على الناتج
• إذا x = 0: نفحص y → موجبة: 90°، سالبة: -90°
• دائماً نبدأ بفحص إشارة x لتحديد الطريقة الصحيحة
• النقاط المختلفة قد تعطي نفس y/x لكن زوايا مختلفة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
12
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...
التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية | أكاديمية موسى