التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

الموضوع: كيفية تحويل النقاط من الصيغة القطبية (r, θ) إلى الصيغة الديكارتية (x, y)

المفاهيم: قوانين التحويل، المثلث القائم، التعامل مع الإشارات السالبة، النقاط المكافئة

الهدف: إتقان عملية التحويل بين النظامين الإحداثيين باستخدام قوانين sin و cos

المقدمة

نحتاج أحياناً للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية المألوفة

مراجعة سريعة للإحداثيات القطبية:

لتمثيل نقطة في المستوى القطبي:
• أولاً: نجد البعد عن القطب (r)
• ثانياً: نجد الزاوية من المحور القطبي (θ)

الصيغة القطبية

(r, \theta)

المسافة من القطب، الزاوية من المحور القطبي

الحاجة للتحويل:
أحياناً نحتاج تحويل النقطة من الصيغة القطبية

(r, \theta)

إلى الصيغة الديكارتية

(x, y)

التي تعودنا عليها سابقاً

السؤال الأساسي:
كيف نجد إحداثي X وإحداثي Y من المعلومات القطبية؟

التحويل يعتمد على المثلث القائم الزاوية وقوانين sin و cos

1 قوانين التحويل

قوانين بسيطة تربط الإحداثيات القطبية بالديكارتية

1

المثلث القائم الزاوية

الملاحظة الأساسية:
عند رسم نقطة بالصيغة القطبية وإسقاطها على المحاور، يتكون مثلث قائم الزاوية

مكونات المثلث:
• الوتر: r (المسافة من القطب)
• الضلع الأفقي: x (الإحداثي على محور X)
• الضلع العمودي: y (الإحداثي على محور Y)
• الزاوية: θ (الزاوية من المحور القطبي)

باستخدام قوانين المثلث القائم:
نستطيع إيجاد x و y من r و θ

2

القوانين الأساسية

من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية:

قانون إحداثي X

x = r \cos(\theta)

(المسافة × جيب تمام الزاوية)

قانون إحداثي Y

y = r \sin(\theta)

(المسافة × جيب الزاوية)

ملاحظة:
هذان القانونان يجب حفظهما واستخدامهما في كل عملية تحويل

x = r cos(θ) و y = r sin(θ)

2 أمثلة بقيم موجبة

تطبيق قوانين التحويل على نقاط بقيم موجبة

1

مثال (1): نقطة (3, 30°)

المعطى: نقطة بالصيغة القطبية

(3, 30°)

• البعد عن القطب: r = 3
• الزاوية من المحور القطبي: θ = 30°

المطلوب: تحويلها إلى الصيغة الديكارتية (x, y)

الحل:

الخطوة 1: حساب x

x = r \cos(\theta)

x = 3 \cos(30°)

x = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}

x = \frac{3\sqrt{3}}{2}

الخطوة 2: حساب y

y = r \sin(\theta)

y = 3 \sin(30°)

y = 3 \times \frac{1}{2}

y = \frac{3}{2}

النتيجة النهائية:

\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)

2

مثال (2): نقطة (5, π/3)

المعطى: نقطة بالصيغة القطبية

(5, \frac{\pi}{3})

ملاحظة: الزاوية بالراديان، نحولها للدرجات:

\pi = 180°

\frac{\pi}{3} = \frac{180°}{3} = 60°

المطلوب: تحويلها إلى الصيغة الديكارتية

الحل:

x = 5 \cos(60°) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

y = 5 \sin(60°) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}

النتيجة:

\left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right)

نطبق القوانين مباشرة: x = r cos(θ) و y = r sin(θ)

3 التعامل مع الإشارات السالبة

كيف نتعامل مع r سالب أو θ سالب؟

1

تمثيل الإشارات السالبة

الزاوية السالبة (θ < 0):
• الإشارة السالبة تعني الدوران مع عقارب الساعة (للأسفل)
• مثال: -120° تعني ننزل 120° مع عقارب الساعة

المسافة السالبة (r < 0):
• بدلاً من الرسم في الطريقة المعتادة من القطب باتجاه الزاوية
• نعكس الاتجاه ونرسم في الاتجاه المعاكس
• مثال: إذا كانت الزاوية تشير للأسفل، فـ r السالب يجعلنا نرسم للأعلى

نبدأ دائماً بتحديد الزاوية أولاً (لأنها أسهل)
ثم نطبق r في الاتجاه الصحيح

2

مثال (3): نقطة (-6, -120°)

المعطى:

(-6, -120°)

• r = -6 (سالب)
• θ = -120° (سالب)

المطلوب: تحويلها إلى صيغة ديكارتية وفهم كيفية تمثيلها

خطوات التمثيل البصري:

الخطوة 1: الزاوية -120°
• سالبة → مع عقارب الساعة (للأسفل)
• ننزل 120° من المحور القطبي

الخطوة 2: المسافة -6
• سالبة → نعكس الاتجاه
• بدلاً من الذهاب للأسفل (حيث الزاوية)، نذهب للأعلى (الاتجاه المعاكس)

النقطة المكافئة:

(-6, -120°) = (6, 60°)

(نفس النقطة، تمثيلان مختلفان)

التحويل المباشر (قبل الرسم):

x = -6 \cos(-120°)

y = -6 \sin(-120°)

3

إثبات التكافؤ

نحول بالطريقتين ونثبت أنهما تعطيان نفس النتيجة:

الطريقة الأولى: (-6, -120°)

حساب x:

x = -6 \cos(-120°)

\cos(-120°) = -\frac{1}{2}

x = -6 \times (-\frac{1}{2}) = 3

حساب y:

y = -6 \sin(-120°)

\sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

y = -6 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}

الطريقة الثانية: (6, 60°)

حساب x:

x = 6 \cos(60°)

\cos(60°) = \frac{1}{2}

x = 6 \times \frac{1}{2} = 3

حساب y:

y = 6 \sin(60°)

\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}

y = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

✓ نفس النتيجة!

(3, 3\sqrt{3})

هذا يثبت أن النقطتين متكافئتين

القوانين تعمل مع القيم السالبة مباشرة وتعطي نفس النتيجة

الملخص النهائي

قوانين التحويل

(r, \theta) \to (x, y)

↓

x = r\cos(\theta)

y = r\sin(\theta)

الزاوية السالبة

θ < 0

↓

مع عقارب الساعة

↓
للأسفل

المسافة السالبة

r < 0

↓

عكس الاتجاه

↓
الجهة المعاكسة

النقاط الرئيسية

• قوانين التحويل: x = r cos(θ) و y = r sin(θ)
• المثلث القائم هو الأساس في استنتاج القوانين
• الزاوية السالبة تعني الدوران مع عقارب الساعة (للأسفل)
• المسافة السالبة تعني عكس الاتجاه
• (-6, -120°) = (6, 60°) نقطتان متكافئتان
• القوانين تعمل مباشرة مع القيم السالبة
• التحويل بالطريقتين يعطي نفس النتيجة النهائية

التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية

تعلمنا في الدرس السابق أن تمثيل أي نقطة في الإحداثيات القطبية يعتمد على عنصرين:

- البعد عن القطب \(r\). - الزاوية \(\theta\) المقاسة من المحور القطبي.

فمثلاً إذا كانت النقطة تبعد **3** عن القطب، وزاويتها **30°**، فإن تمثيلها القطبي يكون:

**(3 ، 30°)**

لماذا نحول إلى الإحداثيات الديكارتية؟

في كثير من المسائل نحتاج إلى معرفة إحداثيات النقطة على المحورين **X** و **Y**، لذلك نحول النقطة من النظام القطبي إلى النظام الديكارتي.

قوانين التحويل

يتكوّن مثلث قائم الزاوية بين المحورين والنقطة، ولذلك تكون قوانين التحويل مباشرة:

**x = r cosθ**

**y = r sinθ**

وهذه هي القاعدتان الأساسيتان للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية.

المثال الأول

إذا كانت النقطة:

**(3 ، 30°)**

فإن:

**x = 3 cos(30°)**

**y = 3 sin(30°)**

وبذلك نحصل على الإحداثيين الديكارتيين للنقطة.

المثال الثاني

إذا كانت النقطة:

**(5 ، π/3)**

فنحوّل الزاوية أولاً إلى درجات.

نعرف أن:

**π = 180°**

إذن:

**π/3 = 60°**

ثم نطبق قوانين التحويل:

**x = 5 cos(60°)**

**y = 5 sin(60°)**

ماذا لو كانت قيمة \(r\) سالبة؟

إذا كانت قيمة نصف القطر سالبة، فإننا لا نرسم النقطة في الاتجاه المعتاد، وإنما نعكس اتجاه نصف القطر.

فمثلاً إذا كانت النقطة:

**(-6 ، -120°)**

فنبدأ أولاً برسم الزاوية **-120°** مع عقارب الساعة.

ثم لأن قيمة **r** سالبة، نعكس اتجاه نصف القطر، فنصل إلى نقطة مكافئة.

النقاط المكافئة

النقطة:

**(-6 ، -120°)**

تكافئ تماماً النقطة:

**(6 ، 60°)**

أي أن النقطتين تمثلان نفس الموقع في المستوى القطبي.

التحويل المباشر

حتى لو كانت قيمة \(r\) سالبة، يمكن تطبيق القانون مباشرة دون الحاجة إلى رسم النقطة.

فنكتب:

**x = -6 cos(-120°)**

**y = -6 sin(-120°)**

وسنحصل على نفس الإحداثيات التي نحصل عليها باستخدام النقطة المكافئة:

**x = 6 cos(60°)**

**y = 6 sin(60°)**

لماذا تعطي النقطتان نفس النتيجة؟

لأن:

**cos(-120°) = -1/2**

بينما:

**cos(60°) = 1/2**

وكذلك:

**sin(-120°) = -√3/2**

بينما:

**sin(60°) = √3/2**

وعند ضرب هذه القيم في **r** السالبة، نحصل في النهاية على نفس الإحداثيات الديكارتية.

وهذا يثبت أن النقطتين القطبيتين المتكافئتين تتحولان دائماً إلى نفس النقطة في الإحداثيات الديكارتية.

الخلاصة

للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية نستخدم القاعدتين:

**x = r cosθ**

**y = r sinθ**

وإذا كانت قيمة **r** سالبة، فيمكن إما استخدام النقطة المكافئة ذات نصف القطر الموجب، أو التعويض المباشر في القوانين، وفي الحالتين ستكون النتيجة نفسها.

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية تعلمنا في الدرس السابق أن تمثيل أي نقطة في الإحداثيات القطبية يعتمد على عنصرين: - البعد عن القطب… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية

الثانوية

الاحداثيات القطبية و مقارنتها بالديكارتية

الثانوية

الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates)

الثانوية

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

الثانوية

الأحداثيات القطبية إلى الديكارتية

الثانوية