المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

الشرح

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات القطبية

الموضوع: إيجاد المسافة بين نقطتين باستخدام الصيغة القطبية

المفاهيم: قانون المسافة القطبي، المقارنة مع الصيغة الديكارتية، دالة الجيب التمام (cos)، الدوال الزوجية

الهدف: تعلم كيفية حساب المسافة بين نقطتين معطاة بالصيغة القطبية وفهم الفرق مع الطريقة الديكارتية

المقدمة

الصيغة القطبية لحساب المسافة بين نقطتين أصعب من الصيغة الديكارتية
عندما نريد حساب المسافة بين نقطتين، يمكننا استخدام طريقتين مختلفتين حسب الصيغة المعطاة:

المقارنة بين الطريقتين:

١. الصيغة الديكارتية (أسهل)
إذا كانت النقاط بصيغة: (x_1, y_1) و (x_2, y_2)
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
✓ سهلة ومباشرة
٢. الصيغة القطبية (أصعب)
إذا كانت النقاط بصيغة: (r_1, \theta_1) و (r_2, \theta_2)
d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}
⚠ أكثر تعقيداً بسبب وجود cos
ملاحظة مهمة:
• في بعض الاستخدامات تكون الصيغة القطبية أسهل
• في بعض الاستخدامات تكون الصيغة الديكارتية أسهل
• لإيجاد المسافة بين نقطتين، الصيغة الديكارتية أبسط
القانون القطبي للمسافة يحتوي على cos ويعتمد على الفرق بين الزاويتين

1 قانون المسافة في الإحداثيات القطبية

قانون يجب حفظه واستخدامه عند وجود نقطتين بالصيغة القطبية
1
القانون
المعطى:
• النقطة الأولى: (r_1, \theta_1)
• النقطة الثانية: (r_2, \theta_2)

المطلوب: المسافة بين النقطتين (d)

قانون المسافة القطبي
d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}
مكونات القانون:

الخطوة 1: نضع الجذر التربيعي √

الخطوة 2: نحسب مربعي المسافتين ونجمعهما
r_1^2 + r_2^2
الخطوة 3: نطرح حد التصحيح
-2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)
ملاحظة هامة:
هذا القانون يجب حفظه واستخدامه عند إيجاد المسافة بين نقطتين قطبيتين
القانون يتكون من: الجذر التربيعي لمجموع المربعات ناقص حد cos

2 أمثلة محلولة

تطبيق القانون على أمثلة عملية
1
مثال (1): إيجاد المسافة
المعطى:
• النقطة الأولى: (5, 310°)
• النقطة الثانية: (6, 345°)

المطلوب: إيجاد المسافة بين النقطتين

الحل:

الخطوة 1: نحدد القيم
r_1 = 5, \quad \theta_1 = 310°
r_2 = 6, \quad \theta_2 = 345°
الخطوة 2: نطبق القانون مباشرة
d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}
الخطوة 3: نعوض بالقيم
d = \sqrt{5^2 + 6^2 - 2(5)(6)\cos(345° - 310°)}
الخطوة 4: نحسب مربع كل مسافة
d = \sqrt{25 + 36 - 2(5)(6)\cos(35°)}
الخطوة 5: نحسب حاصل الضرب
d = \sqrt{61 - 60\cos(35°)}
الخطوة 6: نستخدم الحاسبة
\cos(35°) \approx 0.819
d = \sqrt{61 - 60(0.819)}
d = \sqrt{61 - 49.14}
d = \sqrt{11.86}
النتيجة النهائية: d \approx 3.44 وحدة
2
مثال (2): مثال آخر
المعطى:
• النقطة الأولى: (8, 150°)
• النقطة الثانية: (3, 65°)

المطلوب: إيجاد المسافة بين النقطتين

الحل:

الخطوة 1: نحدد القيم
r_1 = 8, \quad \theta_1 = 150°
r_2 = 3, \quad \theta_2 = 65°
الخطوة 2: نطبق القانون
d = \sqrt{8^2 + 3^2 - 2(8)(3)\cos(65° - 150°)}
الخطوة 3: نحسب
d = \sqrt{64 + 9 - 2(8)(3)\cos(-85°)}
d = \sqrt{73 - 48\cos(-85°)}
الخطوة 4: نستخدم الحاسبة للحصول على النتيجة النهائية
نطبق القانون خطوة بخطوة ونستخدم الحاسبة للحصول على النتيجة

3 نقطة مهمة: دالة الجيب التمام (cos) دالة زوجية

لا يهم ترتيب طرح الزوايا بفضل خاصية الزوجية لدالة cos
1
خاصية الزوجية لدالة cos
التعريف:
دالة الجيب التمام (cos) هي دالة زوجية، بمعنى:

\cos(-x) = \cos(x)
(جيب تمام الزاوية السالبة = جيب تمام الزاوية الموجبة)
النتيجة المهمة:
في قانون المسافة القطبي، لا يفرق إذا حسبنا:
• \theta_2 - \theta_1 أو
• \theta_1 - \theta_2

السبب:
\cos(\theta_2 - \theta_1) = \cos(\theta_1 - \theta_2)
لأن: \theta_1 - \theta_2 = -(\theta_2 - \theta_1)
ميزة:
هذه الخاصية تجعل حساباتنا أسهل ولا نقلق من ترتيب الطرح!
2
مثال توضيحي من المثال السابق
من المثال (2):
النقطة الأولى: (8, 150°)
النقطة الثانية: (3, 65°)

الطريقة الأولى: \theta_2 - \theta_1
65° - 150° = -85°
\cos(-85°) \approx 0.0872
الطريقة الثانية: \theta_1 - \theta_2
150° - 65° = 85°
\cos(85°) \approx 0.0872
النتيجة واحدة في الحالتين! ✓
\cos(-85°) = \cos(85°)
خاصية الزوجية لـ cos تسهل الحسابات ولا نحتاج القلق من ترتيب الطرح

الملخص النهائي

الصيغة الديكارتية

(x_1,y_1), (x_2,y_2)
↓
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
↓
أسهل وأبسط

الصيغة القطبية

(r_1,\theta_1), (r_2,\theta_2)
↓
\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)}
↓
أصعب (يحتوي cos)

خاصية الزوجية

\cos(-x) = \cos(x)
↓
ترتيب الطرح لا يهم
↓
نفس النتيجة

النقاط الرئيسية

• الصيغة القطبية للمسافة أصعب من الصيغة الديكارتية
• القانون القطبي: d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}
• يجب حفظ هذا القانون واستخدامه عند الحاجة
• دالة cos زوجية: \cos(-x) = \cos(x)
• لا يهم ترتيب طرح الزوايا بسبب خاصية الزوجية
• \cos(\theta_2 - \theta_1) = \cos(\theta_1 - \theta_2)
• نستخدم الحاسبة لحساب قيمة cos والنتيجة النهائية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
6
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...