الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates)

الموضوع: التعرف على نظام الإحداثيات القطبية كبديل للإحداثيات الديكارتية

المفاهيم: القطب (Pole)، المحور القطبي (Polar Axis)، الزاوية (θ)، المسافة (r)، التمثيلات المتعددة

الهدف: فهم كيفية تمثيل النقاط في المستوى باستخدام الزاوية والمسافة بدلاً من الإحداثيات الديكارتية

المقدمة

نظام جديد لتمثيل النقاط في المستوى باستخدام الزاوية والمسافة من نقطة مرجعية

تعودنا على التعامل مع الإحداثيات الديكارتية (Cartesian Coordinates)، حيث نحدد كل نقطة بإحداثيات على محور X وإحداثيات على محور Y.

الهدف من أي نظام إحداثيات:
• وجود نقطة مرجع (نقطة الأصل)
• تحديد إحداثيات كل نقطة في المستوى بالنسبة لهذا المرجع

السؤال: هل نستطيع تحقيق نفس الهدف بأسلوب مختلف؟

الإحداثيات الديكارتية

(x, y)

نقطة محددة بإحداثي أفقي وإحداثي عمودي

↓

الإحداثيات القطبية

(r, \theta)

نقطة محددة بمسافة من المركز وزاوية

النظام القطبي يستخدم الزاوية والمسافة بدلاً من المحاور الأفقية والعمودية

1 مكونات النظام القطبي

القطب والمحور القطبي هما الأساس في النظام القطبي

القطب (Pole)

التعريف: النقطة المرجعية في النظام القطبي

المقارنة:
• في النظام الديكارتي: نقطة الأصل (Origin)
• في النظام القطبي: القطب (Pole)

القطب = نقطة الأصل
(نفس الوظيفة، اسم مختلف)

المحور القطبي (Polar Axis)

التعريف: محور واحد فقط يمتد من القطب إلى اليمين

المقارنة:
• في النظام الديكارتي: محور X ومحور Y (محوران)
• في النظام القطبي: المحور القطبي فقط (محور واحد)

ملاحظة:
المحور القطبي يمتد من القطب باتجاه اليمين (الاتجاه الموجب)

كيف نمثل أي نقطة؟

القاعدة الأساسية:
أي نقطة في المستوى نستطيع تحديدها بـ:

١. المسافة عن القطب (r)

٢. الزاوية من المحور القطبي (θ)

التمثيل القطبي

(r, \theta)

المسافة أولاً، ثم الزاوية

النظام القطبي = قطب (مرجع) + محور قطبي واحد + تمثيل بـ (r, θ)

2 الزوايا في النظام القطبي

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة، والزوايا السالبة مع عقارب الساعة

اتجاه الزوايا

قاعدة القياس:

الزوايا الموجبة (+):
• إلى الأعلى
• عكس عقارب الساعة (Counter-clockwise)
• تبدأ من المحور القطبي وتدور للأعلى

الزوايا السالبة (-):
• إلى الأسفل
• مع عقارب الساعة (Clockwise)
• تبدأ من المحور القطبي وتدور للأسفل

مثال (1): نقطة عند زاوية 30°

المعطى: نقطة زاويتها 30° وتبعد 2 وحدة عن القطب
التمثيل القطبي:

(2, 30°)

الوصف:
• المسافة من القطب = 2 وحدة
• الزاوية = 30° (موجبة، عكس عقارب الساعة)
• تقع في الربع الأول

مثال (2): نقطة عند زاوية 200°

المعطى: نقطة زاويتها 200° وتبعد 3 وحدات عن القطب
التمثيل القطبي:

(3, 200°)

الوصف:
• المسافة من القطب = 3 وحدات
• الزاوية = 200° (موجبة، عكس عقارب الساعة)
• تقع في الربع الثالث

أي نقطة في المستوى يمكن تمثيلها بـ (المسافة، الزاوية)

3 التمثيلات المتعددة لنفس النقطة

النقطة الواحدة يمكن تمثيلها بعدد لا نهائي من الطرق في النظام القطبي

المبدأ الأساسي

القاعدة:
كل ما زدنا أو نقصنا 360° نرجع إلى نفس الزاوية

\theta + 360° = \theta

(دورة كاملة تعيدنا لنفس الموقع)

النتيجة:
أي نقطة في المستوى القطبي يمكن تمثيلها بعدد لا نهائي من التمثيلات

مثال (3): الزاوية -30°

المعطى: نقطة عند زاوية -30° على بعد 2 وحدة
المطلوب: إيجاد تمثيلات مختلفة لنفس النقطة

طريقتان للوصول لنفس الزاوية:

١. الطريقة السالبة:
ندور مع عقارب الساعة 30°

(2, -30°)

٢. الطريقة الموجبة:
ندور عكس عقارب الساعة 330°

(2, 330°)

العلاقة:

-30° + 360° = 330°

مثال كامل: تمثيلات لا نهائية

المعطى: النقطة عند زاوية -30° وبعد 2 وحدة
المطلوب: إيجاد تمثيلات متعددة

التمثيل الأول:

(2, -30°)

التمثيل الثاني: (نضيف 360°)

-30° + 360° = 330°

(2, 330°)

التمثيل الثالث: (نضيف 360° أخرى)

330° + 360° = 690°

(2, 690°)

التمثيل الرابع: (نضيف 360° مرة أخرى)

690° + 360° = 1050°

(2, 1050°)

وهكذا... عدد لا نهائي من التمثيلات!

(2, -30°) = (2, 330°) = (2, 690°) = (2, 1050°) = ...

كل نقطة في النظام القطبي لها تمثيلات لا نهائية عن طريق إضافة أو طرح 360°

الملخص النهائي

النظام الديكارتي

(x, y)

↓

محوران: X و Y

↓
إحداثي أفقي وعمودي

النظام القطبي

(r, \theta)

↓

قطب + محور قطبي واحد

↓
مسافة وزاوية

التمثيلات المتعددة

\theta + 360°

↓

نفس الزاوية

↓
تمثيلات لا نهائية

النقاط الرئيسية

• النظام القطبي يستخدم (r, θ) بدلاً من (x, y)
• القطب = نقطة الأصل في النظام الديكارتي
• المحور القطبي يمتد من القطب إلى اليمين
• الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة (+)
• الزوايا السالبة مع عقارب الساعة (-)
• النقطة الواحدة لها تمثيلات لا نهائية
• إضافة أو طرح 360° يعطينا تمثيل جديد لنفس النقطة

الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates)

الشرح