١ مقدمة: نظام بديل للإحداثيات
في النظام الديكارتي، عندنا محور X ومحور Y، والهدف أن يكون عندنا مرجع (نقطة الأصل) بحيث نلاقي إحداثيات كل نقطة في المستوى.
ولكن هل نقدر نوصل إلى نفس الهدف بأسلوب آخر؟
هنا يأتي دور النظام القطبي (الإحداثيات القطبية).
٢ مكونات النظام القطبي
- • القطب: هو المرجع (نفس نقطة الأصل)
- • المحور القطبي: محور واحد فقط يمتد من القطب إلى اليمين
- • تحديد النقطة: بزاوية وبعدها عن القطب
٣ كتابة النقطة في النظام القطبي
أي نقطة في المستوى نقدر نحددها ب:
(r, θ)
حيث r = البعد عن القطب
و θ = الزاوية من المحور القطبي
أمثلة:
- نقطة زاويتها 30° وتبعد 2 عن القطب: (2, 30°)
- نقطة زاويتها 200° وتبعد 3 عن القطب: (3, 200°)
٤ الزوايا الموجبة والسالبة
- • الزاوية الموجبة: إلى الأعلى (عكس عقارب الساعة)
- • الزاوية السالبة: إلى الأسفل (مع عقارب الساعة)
٥ التمثيلات المتعددة للنقطة الواحدة
نقدر نقيس أي زاوية بأكثر من طريقة، لأن كل ما زودنا 360° نرجع إلى نفس الزاوية.
مثال: زاوية -30°
-30° = -30° + 360° = 330°
330° = 330° + 360° = 690°
إذاً النقطة التي بعدها 2 وزاويتها -30° يمكن تمثيلها ب:
أو (2, 330°)
أو (2, 690°)
... وهكذا
٦ الملخص
- • النظام القطبي: بديل للنظام الديكارتي
- • المكونات: القطب والمحور القطبي
- • النقطة: (r, θ) حيث r البعد و θ الزاوية
- • الزاوية الموجبة: عكس عقارب الساعة
- • الزاوية السالبة: مع عقارب الساعة
- • تمثيلات متعددة: نزود أو ننقص 360° للنقطة الواحدة
٧ أمثلة محلولة
المثال الأول:
مثّل النقطة (3, 45°) على النظام القطبي.
الحل:
- البعد عن القطب: r = 3
- الزاوية من المحور القطبي: θ = 45° (موجبة، عكس عقارب الساعة)
- نرسم المحور القطبي ونحدد القطب
- نقيس زاوية 45° من المحور القطبي إلى الأعلى
- نمشي مسافة 3 وحدات على هذا الاتجاه
المثال الثاني:
أوجد تمثيلين آخرين للنقطة (4, 60°).
الحل:
نزود 360° للحصول على تمثيل آخر:
(4, 60° + 360°) = (4, 420°)
أو ننقص 360°:
(4, 60° - 360°) = (4, -300°)
الجواب: (4, 420°) أو (4, -300°)
المثال الثالث:
إذا كانت النقطة (5, -150°)، أوجد تمثيلها بزاوية موجبة.
الحل:
نزود 360° للزاوية السالبة:
-150° + 360° = 210°
الجواب: (5, 210°)
المثال الرابع:
النقطة (2, 450°)، اكتبها بزاوية بين 0° و 360°.
الحل:
ننقص 360°:
450° - 360° = 90°
الجواب: (2, 90°)
المثال الخامس:
أوجد ثلاثة تمثيلات مختلفة للنقطة (6, 0°).
الحل:
نزود 360°:
(6, 0° + 360°) = (6, 360°)
نزود 720°:
(6, 0° + 720°) = (6, 720°)
ننقص 360°:
(6, 0° - 360°) = (6, -360°)
الجواب: (6, 360°) أو (6, 720°) أو (6, -360°)
الإحداثيات القطبية
في هذا الدرس سنتعرف على نظام الإحداثيات القطبية، وهو طريقة أخرى لتحديد مواقع النقاط في المستوى، تختلف عن نظام الإحداثيات الديكارتية الذي يعتمد على محوري السين والصاد.
الإحداثيات الديكارتية
في النظام الديكارتي نحدد موقع أي نقطة باستخدام:
- الإحداثي السيني (X). - الإحداثي الصادي (Y).
ويكون المرجع هو نقطة الأصل، حيث تقاس جميع النقاط بالنسبة إليها.
فكرة الإحداثيات القطبية
هل يمكن تحديد مواقع النقاط بطريقة مختلفة؟
الإجابة نعم، وذلك باستخدام الإحداثيات القطبية.
في هذا النظام نستبدل المحورين بمرجع يسمى **القطب**، وهو يقابل نقطة الأصل في النظام الديكارتي.
كما يوجد محور واحد فقط يسمى **المحور القطبي**، ويمتد أفقياً إلى اليمين.
كيف نحدد أي نقطة؟
في النظام القطبي يكفي تحديد قيمتين:
- بعد النقطة عن القطب. - الزاوية التي تصنعها مع المحور القطبي.
فتكتب الإحداثيات القطبية على الصورة:
(r ، θ)
حيث:
- r هو البعد عن القطب. - θ هي الزاوية المقاسة من المحور القطبي.
أمثلة
إذا كانت نقطة تبعد مسافة 2 عن القطب، وتصنع زاوية 30° مع المحور القطبي، فتكتب:
(2 ، 30°)
أما إذا كانت تبعد 3 وحدات وتصنع زاوية 200°، فتكتب:
(3 ، 200°)
اتجاه قياس الزوايا
تقاس الزوايا ابتداءً من المحور القطبي.
- إذا كان الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة، تكون الزاوية موجبة.
- وإذا كان الدوران مع اتجاه عقارب الساعة، تكون الزاوية سالبة.
فعلى سبيل المثال:
الزاوية -30° تقع في نفس اتجاه الزاوية 330°، لأن:
330° = 360° - 30°
وكلاهما يشيران إلى نفس الاتجاه.
تعدد تمثيل النقطة
من خصائص النظام القطبي أن النقطة الواحدة يمكن تمثيلها بعدة صور.
وذلك لأن إضافة 360° إلى أي زاوية يعيدنا إلى نفس الاتجاه.
فإذا كانت النقطة:
(2 ، -30°)
فيمكن أيضاً كتابتها:
(2 ، 330°)
كما يمكن إضافة 360° مرة أخرى لتصبح:
(2 ، 690°)
وجميع هذه الإحداثيات تمثل النقطة نفسها.
الخلاصة
يعتمد النظام القطبي على تحديد موقع النقطة باستخدام بعدها عن القطب والزاوية التي تصنعها مع المحور القطبي، بدلاً من استخدام الإحداثيين السيني والصادي.
كما أن الزاوية يمكن تمثيلها بعدة قيم تختلف بمقدار 360°، ولذلك يمكن تمثيل النقطة القطبية بأكثر من صورة مع بقاء موقعها ثابتاً.
عن هذا الدرس
الإحداثيات القطبية في هذا الدرس سنتعرف على نظام الإحداثيات القطبية، وهو طريقة أخرى لتحديد مواقع النقاط في المستوى، تختلف عن نظام الإحداثيات الديكارتية… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.
