مفهوم الضرب الاتجاهي

الضرب الاتجاهي للمتجهات الضرب الاتجاهي للمتجهات

١ مفهوم الضرب الاتجاهي

عندما نضرب متجهين $\vec{U}$ و $\vec{V}$ ضرب اتجاهي، النتيجة تكون متجه جديد متعامد على السطح الذي بينهما.

إذا كان $\vec{U}$ و $\vec{V}$ على المستوى XY، فالمتجه الناتج $\vec{W}$ يكون طالع عمودياً.

٢ العمل في ثلاثة أبعاد

نلاحظ أننا دائماً نتكلم عن ثلاثة أبعاد، لذلك عندنا $\vec{i}$ و $\vec{j}$ و $\vec{k}$ . كل متجه لازم يكون له قيمة على الاتجاهات الثلاثة.

$\vec{U} = U_x\vec{i} + U_y\vec{j} + U_z\vec{k}$

$\vec{V} = V_x\vec{i} + V_y\vec{j} + V_z\vec{k}$

كلما ميلنا السطح، يظل المتجه الناتج عمودياً على هذا السطح.

٣ المساحة بين المتجهين

المساحة بين $\vec{U}$ و $\vec{V}$ تمثل متوازي أضلاع. نلاحظ أن هذه المساحة:

تزيد كلما زاد طول $\vec{U}$ أو $\vec{V}$
تتأثر بالزاوية بينهما

٤ تأثير الزاوية على المساحة

المساحة تتأثر بالزاوية بين المتجهين:

زاوية صغيرة: مساحة صغيرة
زاوية 90°: أكبر مساحة
بعد 90°: المساحة تبدأ تنقص

٥ أعلى قيمة للضرب الاتجاهي

الضرب الاتجاهي يكون في أعلى قيمة إذا كانت الزاوية بين المتجهين 90 درجة.

عندما $\theta = 90°$

$|\vec{U} \times \vec{V}| = |\vec{U}| \cdot |\vec{V}|$

(لأن sin(90°) = 1)

٦ طول المتجه الناتج

لو حسبنا قيمة المتجه الناتج، نجد أنه يساوي دائماً المساحة لمتوازي الأضلاع.

|\vec{U} \times \vec{V}| = |\vec{U}| \cdot |\vec{V}| \cdot \sin(\theta)

حيث $\theta$ هي الزاوية بين المتجهين.

٧ التطبيقات في الفيزياء والكهرباء

نرى أمثلة كثيرة للضرب الاتجاهي في عالم الفيزياء والكهرباء:

المجال المغناطيسي والتيار

عندما يكون المجال المغناطيسي والتيار الكهربائي متعامدين، تطلع حركة جديدة في اتجاه مختلف.

$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

قاعدة اليد اليمنى

هذا هو السبب الذي جعلنا نستخدم قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه الحركة أو القوة الناتجة.

٨ الملخص

• المتجه الناتج: عمودي على السطح بين المتجهين
• ثلاثة أبعاد: نستخدم $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$
• المساحة: تمثل متوازي الأضلاع بين المتجهين
• أعلى قيمة: عند زاوية 90 درجة
• الطول: يساوي مساحة متوازي الأضلاع
• التطبيقات: المجال المغناطيسي والتيار الكهربائي

مفهوم الضرب الاتجاهي

بعد أن تعلمنا طريقة حساب الضرب الاتجاهي، سنتعرف الآن على معناه الهندسي، ولماذا يعتبر من أهم العمليات في الرياضيات والفيزياء والهندسة.

المتجه الناتج من الضرب الاتجاهي

إذا كان لدينا متجهان U و V، وأجرينا بينهما عملية ضرب اتجاهي، فإن الناتج يكون متجهاً جديداً.

ويمتاز هذا المتجه بأنه يكون عمودياً على المستوى الذي يحتوي المتجهين.

فإذا كان المتجهان موجودين على مستوى XY، فإن المتجه الناتج سيكون عمودياً على هذا المستوى، أي في اتجاه المحور الثالث.

ولو تغير ميل المستوى أو دار في أي اتجاه، فإن المتجه الناتج سيبقى دائماً عمودياً عليه.

ولهذا السبب نتعامل في الضرب الاتجاهي مع ثلاثة أبعاد، ونستخدم متجهات الوحدة:

- i - j - k

بحيث يمثل كل متجه مركباته في هذه الاتجاهات الثلاثة.

العلاقة بين الضرب الاتجاهي والمساحة

إذا وضعنا المتجهين U و V من نفس نقطة البداية، فإنهما يشكلان متوازي أضلاع.

وتكون مساحة هذا المتوازي مرتبطة مباشرة بالضرب الاتجاهي.

فكلما زاد طول أحد المتجهين أو كليهما، زادت مساحة متوازي الأضلاع.

كما أن المساحة تتأثر أيضاً بالزاوية بين المتجهين.

فعندما تكون الزاوية صغيرة، تكون المساحة صغيرة.

ثم تزداد المساحة كلما زادت الزاوية، حتى تصل إلى أكبر قيمة عندما تكون الزاوية بين المتجهين 90°.

وبعد تجاوز 90° تبدأ المساحة في التناقص مرة أخرى.

ولهذا السبب يكون الضرب الاتجاهي في أكبر قيمة له عندما يكون المتجهان متعامدين.

طول المتجه الناتج

إذا حسبنا مقدار المتجه الناتج من الضرب الاتجاهي، فسنجد أنه يساوي تماماً مساحة متوازي الأضلاع الذي يصنعه المتجهان.

وهذه من أهم الخصائص الهندسية للضرب الاتجاهي.

تطبيقات في الفيزياء والهندسة

رأينا تطبيقات كثيرة للضرب الاتجاهي في الفيزياء والهندسة الكهربائية.

فعند مرور تيار كهربائي داخل مجال مغناطيسي، تكون القوة الناتجة في اتجاه جديد عمودي على كل من اتجاه التيار واتجاه المجال المغناطيسي.

ولهذا السبب استخدمنا قاعدة اليد اليمنى الثالثة والرابعة لتحديد اتجاه هذا المتجه الجديد.

الخلاصة

ينتج الضرب الاتجاهي متجهاً جديداً يكون عمودياً على المستوى الذي يحتوي المتجهين.

كما أن مقدار هذا المتجه يساوي مساحة متوازي الأضلاع المحصور بين المتجهين، ولذلك يصل إلى أكبر قيمة عندما تكون الزاوية بينهما 90°، وهو ما يفسر كثرة استخدامه في تطبيقات الفيزياء والهندسة.

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مفهوم الضرب الاتجاهي بعد أن تعلمنا طريقة حساب الضرب الاتجاهي، سنتعرف الآن على معناه الهندسي، ولماذا يعتبر من أهم العمليات في الرياضيات والفيزياء والهندسة.… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات

الثانوية

قاعدة اليد اليمنى و علاقتها بالضرب الاتجاهي

الثانوية

حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الثانوية

المتجهات وتحديد الاتجاه

الثانوية

المحصلة ومركبات المتجهات

الثانوية

شرح مفهوم الضرب الاتجاهي – الثانوية ثالث ثانوي | أكاديمية موسى