المعادلة التربيعية وطرق حلها: القانون العام-إكمال المربع-العامل المشترك
المعادلات التربيعية
الرياضيات — الجبر
لأن (−2)² = 4 و (+2)² = 4 كلاهما يحقق المعادلة
— مثال ٢: ← a=1, b=−3, c=0
— مثال ٣: ← a=2, b=4, c=−2
— تأكد من الإشارات عند تحديد قيم a و b و c.
| الطريقة | متى تُستخدم |
|---|---|
| الجذر التربيعي | عندما تكون المعادلة من شكل x² = k |
| التحليل للعوامل | عندما يوجد عامل مشترك واضح |
| القانون العام | يصلح لجميع المعادلات التربيعية |
— الجذر التربيعي: للمعادلات من شكل x² = k — النتيجة x = ±√k.
— التحليل: أخرج العامل المشترك ثم طبّق قانون الضرب = صفر.
— القانون العام: رتّب المعادلة أولاً ثم حدّد a و b و c بعناية مع الإشارات.
— التحقق دائماً ضروري: عوّض الحلين في المعادلة الأصلية.
المعادلات التربيعية — مسائل محلولة
الرياضيات — الجبر
| الخطوة | العملية |
|---|---|
| ١ — المعاملات | حدّد a و b و c من المعادلة مع الإشارات |
| ٢ — القانون | عوّض في x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a |
| ٣ — المميز | احسب b² − 4ac داخل الجذر أولاً |
| ٤ — الحلان | x₁ بالإشارة + و x₂ بالإشارة − |
— المميز الموجب: يعطي حلين حقيقيين مختلفين كما في كلتا المسألتين.
— التبسيط: بسّط الكسور دائماً في النتيجة النهائية.
— التحقق: عوّض كل حل في المعادلة الأصلية للتأكد.
اختبار: المعادلات التربيعية
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **المعادلة التربيعية**، وهي المعادلة التي يكون أعلى أس للمتغير فيها يساوي **2**.
عدد حلول المعادلة
بما أن أعلى أس في المعادلة التربيعية يساوي 2، فإنها تمتلك **حلين**.
وبشكل عام:
- إذا كان أعلى أس يساوي 1، فالمعادلة لها حل واحد. - إذا كان أعلى أس يساوي 2، فلها حلان. - إذا كان أعلى أس يساوي 3، فلها ثلاثة حلول، وهكذا.
معادلة تربيعية بسيطة
إذا كانت المعادلة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x^2=4" data-tex="x^2=4" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.43ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 2842.1 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1286.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2342.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></div>
فنأخذ الجذر التربيعي للطرفين مباشرة، فنحصل على:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=2" data-tex="x=2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
أو
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=-2" data-tex="x=-2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.203ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3183.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2683.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
لأن:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="2^2=4" data-tex="2^2=4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.267ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2770.1 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(533,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1214.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2270.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="(-2)^2=4" data-tex="(-2)^2=4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.788ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 4326.1 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1167,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1667,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(422,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2770.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3826.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>
وبذلك نحصل على الحلين.
التحليل باستخدام العامل المشترك
إذا كانت المعادلة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x^2-3x=0" data-tex="x^2-3x=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.621ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 5136.6 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2231,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2731,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3580.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4636.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
وبما أن الطرف الأيمن يساوي صفرًا، فيمكن تحليلها بسهولة بأخذ <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span> عاملًا مشتركًا:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x(x-3)=0" data-tex="x(x-3)=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.394ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5478 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1755.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2755.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3255.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3922.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4978,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
ولكي يكون حاصل الضرب صفرًا، فلا بد أن يكون أحد العاملين مساويًا للصفر.
إذن:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=0" data-tex="x=0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span> - أو <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x-3=0" data-tex="x-3=0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.339ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4128 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(794.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1794.4,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2572.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3628,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span>، ومنها <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x=3" data-tex="x=3" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.69ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 2405.6 747" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></span>
وبذلك نحصل أيضًا على حلين.
القانون العام للمعادلة التربيعية
مهما اختلف شكل المعادلة التربيعية، يمكن حلها باستخدام **القانون العام**.
ويكون:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="a" data-tex="a" style="display:inline-block;vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></span> هو معامل <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x^2" data-tex="x^2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.912ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 1008.6 844.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,363) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></span>. - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="b" data-tex="b" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></span> هو معامل <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="c" data-tex="c" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></span> هو الحد الثابت.
ترتيب المعادلة قبل التعويض
قبل استخدام القانون العام، يجب كتابة المعادلة بالشكل القياسي:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="ax^2+bx+c=0" data-tex="ax^2+bx+c=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.403ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 7250 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(529,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1759.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2760,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3189,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3983.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4983.4,0)"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5694.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6750,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
أي نرتب الحدود من أعلى أس إلى أصغر أس، ويكون الطرف الآخر مساويًا للصفر.
مثال
إذا كانت المعادلة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x^2=4" data-tex="x^2=4" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.43ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 2842.1 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1286.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2342.1,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></div>
فننقل العدد 4 إلى الطرف الآخر:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x^2-4=0" data-tex="x^2-4=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.327ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 4564.6 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1230.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2231,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3008.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4064.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
فتصبح معاملات القانون:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="a=1" data-tex="a=1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="b=0" data-tex="b=0" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.119ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2262.6 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(706.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1762.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></span> لأنه لا يوجد حد يحتوي على <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>. - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="c=-4" data-tex="c=-4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.888ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 3044.6 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(710.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1766.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2544.6,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span>
ثم نعوض في القانون العام لنحصل على نفس الحلين:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="x=2 \quad \text{أو} \quad x=-2" data-tex="x=2 \quad \text{أو} \quad x=-2" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.452ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.654ex" height="2.036ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -700 9129.1 900" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(2405.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mpadded" class="mjxar" transform="translate(3405.6,0)"><text direction="rtl" unicode-bidi="embed" text-anchor="start" transform="translate(1390,0) scale(1,-1)" font-size="884px" font-family="-apple-system,'Segoe UI',Tahoma,Arial,sans-serif">أو</text></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4945.6,0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5945.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6795.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7851.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(8629.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></div>
مثال آخر
إذا كانت المعادلة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="2x^2+4x-2=0" data-tex="2x^2+4x-2=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.649ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 7359 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1730.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2731,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3231,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4025.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5025.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5803.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6859,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
فإن معاملات القانون تكون:
- <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="a=2" data-tex="a=2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.345ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2362.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(806.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1862.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="b=4" data-tex="b=4" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.119ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2262.6 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(706.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1762.6,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJXG-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></span> - <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="c=-2" data-tex="c=-2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.888ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3044.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(710.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1766.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2544.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>
وبعد تحديد قيم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="a" data-tex="a" style="display:inline-block;vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></span>، و<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="b" data-tex="b" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></span>، و<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="c" data-tex="c" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></span>، تصبح المعادلة جاهزة للتعويض في القانون العام واستخراج الحلين.
الخلاصة
- المعادلة التربيعية هي التي يكون أعلى أس فيها للمتغير مساويًا لـ **2**. - تمتلك دائمًا **حلين**، قد يكونان متساويين أو مختلفين. - إذا كان الطرف الآخر يساوي صفرًا، فقد يمكن تحليلها بالعامل المشترك. - يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام **القانون العام** بعد ترتيبها على الصورة:
<div class="math-display" style="text-align:center;margin:10px 0;direction:ltr;overflow-x:auto;max-width:100%;"><svg aria-label="ax^2+bx+c=0" data-tex="ax^2+bx+c=0" style="display:block;margin:0 auto;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.403ex" height="2.185ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -883.9 7250 965.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(529,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,413) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1759.8,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2760,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3189,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3983.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJXG-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4983.4,0)"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5694.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6750,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJXG-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></div>
ثم تحديد قيم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="a" data-tex="a" style="display:inline-block;vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></span>، و<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="b" data-tex="b" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></svg></span>، و<span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="c" data-tex="c" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.98ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 433 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D450"></use></g></g></g></svg></span> والتعويض بها في القانون العام.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على المعادلة التربيعية، وهي المعادلة التي يكون أعلى أس للمتغير فيها يساوي 2. عدد حلول المعادلة بما أن أعلى أس في المعادلة التربيعية… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.