قسمة كثيرات الحدود

أسئلة متوقعة

حل بالخطوات — قسمة كثيرات الحدود

الجبر — الفصل الثالث (3-4)

١

بسّط — قسمة على وحيدة حد

\frac{20c^4d^2f - 16cdf^2 + 4cdf}{4cdf}

الخطوة ١

— وزّع القسمة على كل حد في البسط

= \frac{20c^4d^2f}{4cdf} - \frac{16cdf^2}{4cdf} + \frac{4cdf}{4cdf}

الخطوة ٢

— اقسم المعاملات واطرح الأسس

= \frac{20}{4} c^{4-1} d^{2-1} f^{1-1}
- \frac{16}{4} c^{1-1} d^{1-1} f^{2-1} + 1

الخطوة ٣

— بسّط (تذكّر: x⁰ = 1)

= 5c^3d - 4f + 1

الإجابة النهائية

5c3d − 4f + 1

القانون: قسمة القوى: x^a / x^b = x^(a−b) — القوة الصفرية: x⁰ = 1

٢

بسّط — قسمة على وحيدة حد

(18x^2y + 27x^3y^2z)(3xy)^{-1}

الخطوة ١

— حوّل الأس السالب إلى مقلوب:

(3xy)^{-1} = \frac{1}{3xy}
= \frac{18x^2y + 27x^3y^2z}{3xy}

الخطوة ٢

— وزّع القسمة على كل حد

= \frac{18x^2y}{3xy} + \frac{27x^3y^2z}{3xy}

الخطوة ٣

— اقسم المعاملات واطرح الأسس

= 6x^{2-1}y^{1-1} + 9x^{3-1}y^{2-1}z
= 6x + 9x^2yz

الإجابة النهائية

6x + 9x2yz

القانون: الأس السالب: x^(−1) = 1/x — قسمة القوى: x^a/x^b = x^(a−b)

٣

القسمة الطويلة

(x^2 + 7x - 30) \div (x - 3)

الخطوة ١ — اقسم الحد الأول

— اقسم الحد الأول على الحد الأول في المقسوم عليه:

x^2 \div x = x

الخطوة ٢ — اضرب واطرح

— اضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه، ثم اطرح:

(x^2 + 7x) - (x^2 - 3x) = 10x

— الباقي المؤقت:

10x - 30

الخطوة ٣ — اقسم الحد الجديد

— اقسم الحد الأول في الباقي على الحد الأول في المقسوم عليه:

10x \div x = 10

الخطوة ٤ — اضرب واطرح

— اضرب ثم اطرح:

(10x - 30) - (10x - 30) = 0

— الباقي = 0

الإجابة النهائية

x + 10 (باقٍ = 0)

القاعدة: القسمة الطويلة: اقسم → اضرب → اطرح → كرر

٤

القسمة الطويلة

(x^2 - 13x + 12) \div (x - 1)

الخطوة ١ — اقسم الحد الأول

x^2 \div x = x

الخطوة ٢ — اضرب واطرح

x(x-1) = x^2 - x
(x^2 - 13x) - (x^2 - x) = -12x

— الباقي المؤقت:

-12x + 12

الخطوة ٣ — اقسم الحد الجديد

-12x \div x = -12

الخطوة ٤ — اضرب واطرح

-12(x-1) = -12x + 12
(-12x+12) - (-12x+12) = 0

الإجابة النهائية

x − 12 (باقٍ = 0)

القاعدة: القسمة الطويلة: اقسم → اضرب → اطرح → كرر

٥

القسمة التركيبية

(x^2 + 7x - 30) \div (x - 3)

الخطوة ١ — حدّد r والمعاملات

— المقسوم عليه هو:

x - 3 \ \Rightarrow \ r = 3

— المعاملات: 1 ، 7 ، −30

3 1 7 −30
↓
1 ? ?

— أنزل المعامل الأول (1) مباشرةً.

الخطوة ٢ — اضرب واجمع

— اضرب 1 × 3 = 3، أضفه للمعامل الثاني: 7 + 3 = 10

3 1 7 −30
3
1 10 ?

الخطوة ٣ — اضرب واجمع مرة أخرى

— اضرب 10 × 3 = 30، أضفه لـ −30: −30 + 30 = 0

3 1 7 −30
3 30
1 10 0

— المعاملات الناتجة: 1 ، 10 والباقي = 0. الناتج أقل درجة بواحد.

الإجابة النهائية

x + 10 (باقٍ = 0)

القاعدة: القسمة التركيبية: تُستخدم فقط عند القسمة على x − r

٦

القسمة التركيبية — مع باقٍ

(x^3 - 4x^2 + x + 6) \div (x - 2)

الخطوة ١ — حدّد r والمعاملات

— r = 2. المعاملات: 1 ، −4 ، 1 ، 6

— أنزل المعامل الأول (1) مباشرةً.

الخطوة ٢ — طبّق اضرب واجمع ثلاث مرات

— 1×2=2، −4+2=−2 — −2×2=−4، 1+(−4)=−3 — −3×2=−6، 6+(−6)=0

2 1 −4 1 6
2 −4 −6
1 −2 −3 0

الخطوة ٣ — اكتب الناتج

— المعاملات: 1 ، −2 ، −3 والباقي = 0. الناتج من الدرجة الثانية:

x^2 - 2x - 3

الإجابة النهائية

x2 − 2x − 3 (باقٍ = 0)

القاعدة: الصف الأخير = معاملات الناتج (درجة أقل بواحد) + الباقي

الشرح

قسمة كثيرات الحدود

١ طرق القسمة — نظرة عامة
القسمة على وحيدة حد
توزيع كل حد على المقام منفصلاً
القسمة الطويلة
كثير حدود ÷ كثير حدود
القسمة التركيبية
طريقة مختصرة عند القسمة على x − r
— التحقق دائماً: ناتج القسمة × المقسوم عليه + الباقي = المقسوم.
٢ القسمة على وحيدة حد
\frac{a + b + c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}

نقسم كل حد في البسط على المقام بشكل منفصل

مثال ١: بسّط العبارة التالية:
\frac{6x^4y^3 + 12x^3y^2 - 18x^2y}{3xy}
وزّع القسمة
\frac{6x^4y^3}{3xy} + \frac{12x^3y^2}{3xy} - \frac{18x^2y}{3xy}
طبّق قسمة القوى
2x^3y^2 + 4x^2y - 6x
\frac{6x^4y^3 + 12x^3y^2 - 18x^2y}{3xy} = 2x^3y^2 + 4x^2y - 6x
٣ القسمة الطويلة
١ — اقسم
الحد الأول ÷ الحد الأول
٢ — اضرب
الناتج × المقسوم عليه
٣ — اطرح
احسب الباقي
٤ — كرّر
حتى يقل الباقي عن درجة المقسوم عليه
مثال ٢: اقسم بالقسمة الطويلة:
(x^2 + 3x - 40) \div (x - 5)
x − 5 x + 8
x² + 3x − 40
−(x² − 5x)
8x − 40
−(8x − 40)
0
(x^2 + 3x - 40) \div (x-5) = x + 8
— تحقق: (x + 8)(x − 5) = x² + 3x − 40 ✓
٤ القسمة التركيبية
طريقة مختصرة تُستخدم عند القسمة على (x − r) فقط. نعمل بالمعاملات دون كتابة المتغيرات.
الخطوة ١
اكتب المعاملات واكتب r في الصندوق. انقل المعامل الأول.
الخطوة ٢
اضرب المعامل الأخير في r واكتبه تحت التالي.
الخطوة ٣
اجمع واكرر حتى النهاية. الرقم الأخير هو الباقي.
مثال ٣: نفس مثال ٢ بالقسمة التركيبية:
(x^2 + 3x - 40) \div (x - 5)

r = 5 ، المعاملات: 1 ، 3 ، −40

5 13−40
540
180
المعاملات الناتجة 1 ، 8 (درجة أقل بواحد)
الباقي 0
ناتج القسمة
x + 8
(x^2 + 3x - 40) \div (x-5) = x + 8
مثال ٤: قسمة مع باقٍ:
(2x^3 - 3x^2 + x - 6) \div (x - 2)

r = 2 ، المعاملات: 2 ، −3 ، 1 ، −6

2 2−31−6
426
2130
2x^3 - 3x^2 + x - 6 = (x-2)(2x^2+x+3)
٥ متى نستخدم كل طريقة؟
الطريقة تُستخدم عند ميزتها
التوزيع على وحيدة حد المقسوم عليه وحيدة حد مباشرة وسريعة
القسمة الطويلة أي مقسوم عليه عامة لجميع الحالات
القسمة التركيبية المقسوم عليه = x − r مختصرة وأسرع
٦ الخلاصة
— القسمة على وحيدة حد: وزّع القسمة على كل حد في البسط منفصلاً.
— القسمة الطويلة: اقسم ← اضرب ← اطرح ← كرر حتى ينتهي الباقي.
— القسمة التركيبية: اعمل بالمعاملات فقط عند القسمة على (x − r).
— التحقق: ناتج القسمة × المقسوم عليه + الباقي = المقسوم.
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

التكامل والتفاضل لدوال كثيرات الحدود

الثانوية

العمليات على كثيرات الحدود

الثانوية

دوال كثيرات الحدود

الثانوية

حل معادلات كثيرات الحدود

الثانوية

معنى الجمع والطرح والضرب والقسمة

المرحلة المتوسطة