تجربة ذات الحدين

تجربة ذات الحدين

١ التعريف والشروط

نتيجتان فقط

نجاح أو فشل

محاولات ثابتة

عدد n محدد مسبقاً

احتماليات ثابتة

p و q لا تتغير

محاولات مستقلة

كل محاولة مستقلة

٢ القانون الأساسي

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{\,n-k}

حيث q = 1 − p

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

قانون التوافيق

nعدد المحاولات

kعدد النجاحات المطلوبة

pاحتمالية النجاح في المحاولة الواحدة

q = 1−pاحتمالية الفشل

E(X) = npالقيمة المتوقعة

Var(X) = npqالتباين

٣ مثال أساسي — رمي العملة 6 مرات ▼

رمي عملة معدنية 6 مرات — ما احتمالية الحصول على الصورة 3 مرات بالضبط؟

المتغيرات

n=6, k=3, p=1/2, q=1/2

التوافيق

\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!\,3!} = 20

الحساب

P(X=3) = 20 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}

P(X=3) = 5/16 = 0.3125 = 31.25%

٤ مثال ١ — النرد (الرقم 6 مرتين من 4 رميات) ▼

المتغيرات

n=4, k=2, p=1/6, q=5/6

القانون

P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\tfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\tfrac{5}{6}\right)^2

الحساب

= 6 \cdot \tfrac{1}{36} \cdot \tfrac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}

P(X=2) = 25/216 ≈ 11.57%

٥ مثال ٢ — الامتحان (3 صح من 5 أسئلة) ▼

طالب يخمن 5 أسئلة، 4 خيارات لكل سؤال — احتمالية 3 صح؟

المتغيرات

n=5, k=3, p=1/4, q=3/4

الحساب

P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\tfrac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = 10 \cdot \tfrac{1}{64} \cdot \tfrac{9}{16} = \frac{45}{512}

P(X=3) = 45/512 ≈ 8.79%

٦ مثال ٣ — كرة السلة (5 من 6 رميات) ▼

لاعب احتمالية تسجيله 80% — 6 رميات حرة — احتمالية 5 تسجيلات؟

المتغيرات

n=6, k=5, p=0.8, q=0.2

الحساب

P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 \approx 0.3932

P(X=5) ≈ 39.32%

٧ مثال ٤ — الطيران P(X ≤ 2) من 10 رحلات ▼

احتمالية التأخر 15% — 10 رحلات — احتمالية التأخر مرتين أو أقل؟

المطلوب

P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0)

\binom{10}{0}(0.15)^0(0.85)^{10} \approx 0.1969

P(X=1)

10 \cdot 0.15 \cdot (0.85)^9 \approx 0.3474

P(X=2)

45 \cdot (0.15)^2 \cdot (0.85)^8 \approx 0.2759

المجموع

0.1969 + 0.3474 + 0.2759 = 0.8202

P(X ≤ 2) = 0.8202 = 82.02%

٨ حاسبة ذات الحدين

عدد المحاولات n

عدد النجاحات k

احتمالية النجاح p

أدخل القيم واضغط احسب

٩ الخلاصة

الرمز	المعنى	القانون
$P(X=k)$	احتمالية k نجاح	$\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$
$\binom{n}{k}$	التوافيق	$\frac{n!}{k!(n-k)!}$
p + q	مجموع الاحتماليات	1
$E(X)$	القيمة المتوقعة	$np$
$\text{Var}(X)$	التباين	$npq$

أخطاء شائعة: خلط p مع q — نسيان الاستقلالية — أخطاء في التوافيق عند k=0 أو k=n.

تجربة ذات الحدين

في هذا الدرس راح نتعلم تجربة ذات الحدين، وهي عبارة عن تجربة لها احتمالين فقط: نجاح أو فشل.

شروط تجربة ذات الحدين

نكرر هذه التجربة عددًا معينًا من المرات، سواء مرتين أو ثلاثًا أو أربعًا أو أكثر، ونرمز لعدد المحاولات بالرمز n.

ولازم تكون احتمالية النجاح واحتمالية الفشل ثابتة في كل محاولة، يعني المحاولة الثانية ما تكون مختلفة عن الأولى، فجميع المحاولات لها نفس الاحتمالات.

قانون تجربة ذات الحدين

هذا هو قانون تجربة ذات الحدين.

الرمز n يمثل عدد المحاولات، والرمز x يمثل عدد مرات النجاح المطلوبة، و p تمثل احتمالية النجاح، بينما q تمثل احتمالية الفشل.

وبما أن مجموع احتمالي النجاح والفشل يساوي واحدًا، فإن:

q = 1 - p

أما الرمز C فهو يمثل التوافيق (Combinations)، ويمكن استخدامه لإيجاد عدد الطرق الممكنة لحدوث عدد معين من النجاحات.

مثال

خلونا ناخذ مثال على رمي قطعة نقدية.

لدينا حالتان فقط: صورة أو كتابة.

إذا اعتبرنا أن ظهور الصورة يمثل نجاحًا، فإن احتمال النجاح يساوي نصف، واحتمال الفشل أيضًا يساوي نصف.

إذن:

- p = 1/2 - q = 1/2

تطبيق القانون

لو كررنا التجربة ست مرات، فإن:

- n = 6

ولو كان السؤال:

ما احتمال أن تظهر الصورة ثلاث مرات؟

فإن:

- x = 3

نعوض مباشرة في قانون تجربة ذات الحدين، حيث نعوض بعدد المحاولات، وعدد النجاحات المطلوبة، واحتمال النجاح، واحتمال الفشل، ثم نحسب قيمة التوافيق ونوجد الاحتمال النهائي.

ثالث ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

تجربة ذات الحدين في هذا الدرس راح نتعلم تجربة ذات الحدين، وهي عبارة عن تجربة لها احتمالين فقط: نجاح أو فشل. شروط تجربة ذات الحدين نكرر هذه التجربة عددًا… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الاحتمال البسيط مقابل احتمال ذات الحدين

الثانوية

نظرية ذات الحدين

الثانوية

تجربة ذات الحدين

الثانوية

التوزيع الطبيعي مثال علمي

الثانوية

التوزيع الطبيعي في حياتنا اليومية

الثانوية

شرح تجربة ذات الحدين – الثانوية ثاني ثانوي | أكاديمية موسى