ما هي الدوال النسبية؟

الدوال النسبية هي الدوال التي تُكتب على صورة كسر، بحيث يكون لدينا بسط ومقام، مثل:

\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]

حيث إن \(P(x)\) و\(Q(x)\) كثيرات حدود.

ولأن الدالة تحتوي على مقام، فلا بد أن يكون المقام لا يساوي صفراً، لأن القسمة على الصفر غير معرفة، وعندها تظهر خصائص مميزة للدوال النسبية.

علاقة الدوال النسبية بكثيرات الحدود

إذا كان المقام يساوي واحداً، فإن الدالة تتحول إلى دالة كثيرات حدود، مثل:

- \(x^2+1\) - \(x+x^2\)

ولهذا تعتبر كثيرات الحدود حالة خاصة من الدوال النسبية.

حتى الدالة الثابتة مثل:

\[ f(x)=5 \]

يمكن كتابتها على الصورة:

\[ \frac{5}{1} \]

ولذلك فهي أيضاً تعد دالة نسبية.

لماذا ندرس الدوال النسبية بشكل مستقل؟

في كثيرات الحدود تكون قيمة \(x\) موجودة في البسط فقط، أما في الدوال النسبية فقد تظهر \(x\) في المقام.

وجود المتغير في المقام يؤدي إلى ظهور خصائص جديدة، أهمها:

- خطوط التقارب الرأسية. - خطوط التقارب الأفقية.

خطوط التقارب الرأسية

خط التقارب الرأسي يظهر عند كل قيمة لـ \(x\) تجعل المقام يساوي صفراً.

فمثلاً في الدالة:

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

عندما:

\[ x=0 \]

يصبح المقام صفراً، وبالتالي يكون لدينا خط تقارب رأسي عند:

\[ x=0 \]

وجود أكثر من خط تقارب رأسي

قد تحتوي الدالة على أكثر من قيمة تجعل المقام صفراً.

فمثلاً:

\[ f(x)=\frac{1}{(x+2)(x-3)} \]

يجعل المقام صفراً عند:

- \(x=-2\) - \(x=3\)

لذلك يكون لدينا خطا تقارب رأسيان.

وبشكل عام، يمكن أن تمتلك الدالة النسبية أي عدد من خطوط التقارب الرأسية بحسب عدد جذور المقام.

خطوط التقارب الأفقية

أما خطوط التقارب الأفقية فلا يمكن أن يكون منها أكثر من واحد.

إما أن يوجد خط تقارب أفقي واحد، أو لا يوجد أي خط تقارب أفقي.

ويعتمد وجوده على مقارنة أعلى أس في البسط مع أعلى أس في المقام.

الحالة الأولى: درجة المقام أكبر من درجة البسط

إذا كانت درجة المقام أكبر من درجة البسط، فإن خط التقارب الأفقي يكون:

\[ y=0 \]

مثل الدالة:

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

أو:

\[ f(x)=\frac{x}{x^2} \]

وفي كلتا الحالتين يكون خط التقارب الأفقي:

\[ y=0 \]

الحالة الثانية: درجة البسط تساوي درجة المقام

إذا كانت أعلى قوة في البسط تساوي أعلى قوة في المقام، فإن خط التقارب الأفقي يساوي نسبة المعاملين الرئيسيين.

فمثلاً:

\[ f(x)=\frac{2x^2+1}{3x^2+x} \]

فإن:

\[ y=\frac{2}{3} \]

هو خط التقارب الأفقي.

الحالة الثالثة: درجة البسط أكبر من درجة المقام

إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فلا يوجد خط تقارب أفقي.

وفي هذه الحالة قد تظهر أنواع أخرى من خطوط التقارب، لكن لا يوجد تقارب أفقي.

الخلاصة

الدوال النسبية هي دوال تحتوي على بسط ومقام، ولذلك يجب ألا يساوي المقام صفراً.

ومن أهم خصائصها:

- خطوط التقارب الرأسية تظهر عند جميع قيم \(x\) التي تجعل المقام صفراً، وقد يكون للدالة أكثر من خط تقارب رأسي. - خطوط التقارب الأفقية تعتمد على مقارنة درجة البسط ودرجة المقام. - إذا كانت درجة المقام أكبر، فإن خط التقارب الأفقي هو \(y=0\). - إذا تساوت الدرجتان، فإن خط التقارب الأفقي يساوي نسبة المعاملين الرئيسيين. - إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فلا يوجد خط تقارب أفقي.