اختبار الخط الرأسي: متى تكون العلاقة دالة مع أمثلة
الحل: نمثّل الأزواج بيانياً ونمرّر الخط الرأسي من اليسار إلى اليمين: عند ١ نقطة واحدة، وعند ٢ نقطة واحدة، لكن عند ٣ يمر الخط بالنقطتين (٣ ، ١) و (٣ ، ٥) معاً.
الحل: نمرّر الخط الرأسي من اليسار إلى اليمين. عند س = ٢ مثلاً يقطع الدائرة في نقطتين: واحدة فوق المحور الأفقي وواحدة تحته، وهكذا في معظم المواضع.
الحل: نمرّر الخط الرأسي: عند س = −٣ يقطع المستقيم عند ص = −٢ فقط؛ لأن −٣ + ١ = −٢، وعند س = ٢ يقطعه عند ص = ٣ فقط؛ لأن ٢ + ١ = ٣. وفي أي موضع آخر لا يقطعه إلا في نقطة واحدة.
الحل: الموضع الوحيد الذي يحتاج انتباهاً هو س = ١: الخط الرأسي هناك يمر بالدائرة المفرّغة عند ٢ وبالنقطة الممتلئة عند ٤. الدائرة المفرّغة لا تُحسب؛ لأنه لا توجد نقطة هناك، فيبقى تقاطع واحد فقط هو (١ ، ٤).
لماذا اختبار الخط الرأسي؟
في هذا الدرس سنتعلم اختبار الخط الرأسي الذي تكلمنا عنه في آخر الدرس السابق. عشان نتفادى موضوع اللبس في كيف العلاقة تكون دالة، نسوي اختبار الخط الرأسي.
نمرّر الخط الرأسي على النقاط
نمثّل الدالة بيانياً زي ما شفنا في الدرس السابق، لما كان عندنا الأزواج: ١ مع ٤، ٢ مع ٥، ٣ مع ٣، ٤ مع ٦، ٥ مع ٤.
فنمثّلها بيانياً، بعدين نجيب خط رأسي ونخليه يمر من اليسار إلى اليمين، ونتأكد أن الخط الرأسي يمر دائماً بنقطة واحدة فقط على الأكثر. فإذا مر في نقطتين في نفس اللحظة فمعناتها العلاقة ليست دالة.
ونشوف أنه يمر في النقطة الأولى، بعدين الثانية، الثالثة، الرابعة، الخامسة. ما في نقطتين تمر على الخط الرأسي في نفس اللحظة.
لو غيّرنا العلاقة
لكن لو غيّرنا في العلاقة شوي وخلينا عند النقطة ١ في المجال يقابلها ٤ و ٥، فالآن الخط الرأسي إذا مر من هنا رح يتقاطع مع نقطتين، فمعناتها العلاقة ليست دالة.
منحنى الدالة التربيعية: ص = س تربيع
نفس الكلام ينطبق على منحنى الدالة. لو رسمنا دالة متصلة زي مثلاً الدالة التربيعية س تربيع، وهذه هي رسمة منحناها زي كذا.
المنحنى متصل، نسوي عليه نفس الاختبار: نجيب الخط العمودي أو الرأسي ونخليه يمر من اليسار إلى اليمين، ونلاحظ أنه يتقاطع مع المنحنى في نقطة واحدة فقط.
منحنى يفتح إلى اليمين
لو جبنا نفس المنحنى هذا، بدل ما هو يفتح إلى أعلى خليناه يفتح إلى اليمين، فالآن لو جبنا اختبار الخط الرأسي نلاحظ أنه يتقاطع دائماً في نقطتين. فهذه العلاقة لا تمثل دالة.
دالة على قطعتين ودائرة مفرّغة
وأخيراً لو عندنا الدالة هذه، غريبة شوي: من سالب ما لا نهاية إلى الصفر تساوي سالب خمسة، بعدين كل القيم اللي أعلى من الصفر تساوي موجب خمسة.
فنلاحظ أنها عند الصفر تساوي سالب خمسة، عشان كذا عندنا دائرة صغيرة عند السالب خمسة. وفوق، مع الخط الأفقي الثاني اللي فوق، عندنا هنا دائرة مفرّغة تدل على أن هنا ما عندنا نقطة.
فلما نسوي اختبار الخط الرأسي نلاحظ أنه يتقاطع في نقطة واحدة فقط من اليسار إلى اليمين، فهذه دالة.
نلاحظ النقطة اللي هنا المفرّغة فرقت معانا: لو كان في نقطة هنا كان صار عندنا تقاطع الخط الرأسي في نقطتين، معناتها ليست دالة.
ماذا يقول الاختبار؟ والدالة ص = ٥
وش يقول لنا اختبار الخط الرأسي؟ يقول نفس الكلام اللي عرفناه في الدالة: كل نقطة على المجال يقابلها نقطة واحدة فقط على المدى.
نلاحظ أن الاختبار يريحنا في موضوع اللبس. أحياناً يكون كل نقطة في المجال يقابلها رقم واحد فقط في المدى، زي دالة المستقيم ص = ٥. فأي نقطة على المجال من اليسار إلى اليمين يقابلها الرقم خمسة، ومع ذلك تجتاز اختبار الخط الرأسي، فهذه تمثل دالة.
الخلاصة
فعشان تتفادى اللبس، إذا شفت منحنى دالة أو علاقة ممثلة بيانياً زي اللي شفناها سابقاً، فتقدر على طول تسوي اختبار الخط الرأسي في ذهنك، تتأكد أنه ما يقطع نقطتين في أي لحظة.
عن هذا الدرس
شرح اختبار الخط الرأسي لمعرفة هل العلاقة دالة أم لا: نمرّر خطاً رأسياً على التمثيل البياني، فإذا قطعه في نقطة واحدة على الأكثر فهي دالة، وإذا قطعه في… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج المرحلة المتوسطة ثالث متوسط في أكاديمية موسى.