عالم النهايات ومعركة الدوال: لماذا ندرس النهايات وكيف تظهر e

ليش ندرس النهايات؟

كثير منا يتساءل: إحنا ليش ندرس النهايات؟ نهاية أغلب الدوال واضحة. مثلًا الدالة x نهايتها لما x تروح إلى ما لا نهاية راح تروح هي نفسها إلى ما لا نهاية. ونهاية الدالة 1/x راح تروح إلى الصفر، لأننا قاعدين نقسم على عدد يزداد بشكل لا نهائي. ولو أخذنا الدالة الثابتة 5 مثلًا فنهايتها راح تساوي 5 حتى إذا رحنا إلى ما لا نهاية. هذه نهايات مباشرة جدًا.

الصراع بين اتجاهين في الدالة

لكن قيمة النهايات والأدوات التي نتعلمها في عالم النهايات تظهر لما يكون عندنا صراع أو معركة ما بين اتجاهين في الدالة. فمثلًا نهاية الدالة (1 + 1/x)^x، نسكّر القوس وكله أس x. الآن لما x تروح إلى ما لا نهاية، وين راح تروح الدالة؟

الاحتمال الأول: الأساس يغلب

ممكن نقول: هنا عندنا 1/x، وإذا x راحت إلى ما لا نهاية معناها هذا الحد راح يصير صفر، وراح يبقى معنا 1 أس x، ومعناها النتيجة راح تصير 1 مهما كانت قيمة الأس للواحد. هنا افترضنا أن الأساس هو اللي غلب في الصراع.

الاحتمال الثاني: الأس يغلب

لكن لو فرضنا أن الأس فوق هو اللي غلب: نتيجة اللي بين القوس غالبًا راح تصير أعلى من الواحد، وإذا كان العدد أعلى من 1 ورفعناه إلى أس راح تتضاعف أو تزيد قيمته، خصوصًا أن الأس هذا موجب وقاعد يتزايد إلى ما لا نهاية. فالآن صار عندنا قوتان: قوة تسحب الدالة إلى ما لا نهاية، وقوة ثانية تسحب الدالة إلى 1.

هنا يأتي دور النهايات

لو استخدمنا طرق النهايات عشان نعرف الدالة هذه وين راح تروح، أكيد راح يطلع معنا الرقم المميز اللي هو e، وهي نتيجة غير متوقعة تمامًا.

الخلاصة

نقدر نقول إن النهايات هي عبارة عن صراع ما بين الدوال، والأدوات التي اخترعناها في النهايات هي لتحكم من يفوز بهذا الصراع.