لماذا يوجد الثابت C في التكامل؟

ملخص
ثابت التكامل في خمس نقاط
• الدالة الثابتة خط أفقي لا يتغير، لذا .
• التكامل عكس الاشتقاق: الدالة التي مشتقتها صفر هي أي ثابت، فـ .
• كل دالة يمكن كتابتها ، فيظهر في كل تكامل غير محدد.
• = عائلة منحنيات متوازية لها المشتقة نفسها.
• بدون شرط إضافي (مثل قيمة الدالة عند نقطة) لا نستطيع تحديد .
مفهوم
الدوال الثابتة ومشتقتها
x y 2 5 7 y = 2 y = 5 y = 7 خطوط أفقية: لا صعود ولا نزول، الميل صفر
الدوال الثابتة مثل أو أو رسمها خطوط أفقية مستقيمة، والخط الأفقي لا يصعد ولا ينزل.
التفاضل هو معدل التغير، فإذا كان التغير صفراً كانت المشتقة صفراً.
دالة ثابتة

خط أفقي عند
دالة ثابتة

خط أفقي عند
دالة ثابتة

خط أفقي عند
دالة ثابتة

أي عدد ثابت
القاعدة: مشتقة أي عدد ثابت = 0
لماذا؟
العكس: ما هو تكامل الصفر؟
y = 2 y = 5 y = 7 y = 100 y = C 0 المشتقة d/dx كل الثوابت تعطي المشتقة نفسها: صفر
التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق. لو سألنا: ما الدالة التي مشتقتها صفر؟ الجواب: أي دالة ثابتة!
لأن و و و ، وكلها صحيحة. فمن أي دالة نأتي إذا اشتققنا وحصلنا على صفر؟ من حيث أي ثابت.
لذا نكتب:
حيث يمثل أي عدد ثابت، ولا نستطيع تحديده بدون معلومة إضافية.
لماذا؟
لماذا يظهر في كل تكامل؟
∫ (x + 0) dx الدالة مكتوبة بجزأين ∫ x dx = x²/2 تكامل الجزء الأول ∫ 0 dx = C تكامل الجزء الثاني + x²/2 + C النتيجة
لنأخذ ونكتبها بطريقة مختلفة: ، أي أن الدالة تتكون من جزأين: جزء وجزء .
نطبّق التكامل على الجزأين:
الاستنتاج: يظهر لأن تكامل الصفر = ، وكل دالة يمكن كتابتها مع في آخرها. هذا هو السبب الحقيقي لوجود في كل معادلة تكامل غير محدد.
مفهوم
عائلة الدوال التي تكاملها
x y -2 2 -2 2 4 6 C = 4 C = 2 C = 0 C = −2 أربعة منحنيات متوازية لها المشتقة نفسها
كل هذه الدوال مشتقتها ، لأن الفرق الوحيد بينها ثابت، والثابت مشتقته صفر.
التكامل يجمعها كلها في معادلة واحدة: . في الرسم: المنحنيات نسخ من بعضها مزاحة رأسياً، فميلها عند أي واحد.
خطوات
سلسلة الاستنتاج
d/dx (k) = 0 ثابت ← خط أفقي ← لا تغيّر ∫ 0 dx = C عكس الاشتقاق: من أين جاء الصفر؟ f(x) = f(x) + 0 كل دالة فيها صفر مخفي ∫ f dx = F(x) + C لذا ينتهي كل تكامل بالثابت
① الدالة الثابتة خط أفقي ← لا تغيّر ←
② التكامل عكس الاشتقاق ← من أين جاء الصفر؟ من أي ثابت!
③ لأن كل الثوابت مشتقتها صفر
④ لذا كل تكامل غير محدد ينتهي بـ
في التكامل يمثّل الثابت المجهول الذي ضاع عند الاشتقاق.
مثال 1: تكامل مع الثابت
نكتب الدالة بجزأيها ثم نكامل كل جزء:
تحقق بالاشتقاق: وهي الدالة الأصلية، مهما كانت قيمة .
مثال 2: تحديد بشرط إضافي
إذا علمنا أن وأن ، فما ؟
① التكامل العام:
② نعوّض بالشرط :
③ الدالة المطلوبة:
الخلاصة: بدون الشرط الإضافي كانت الإجابة عائلة كاملة من الدوال، والشرط اختار منها منحنى واحداً.
ثابت التكاملالتكامل غير المحددمشتقة الثابتعائلة الدوالالتفاضل والتكاملثالث ثانوي
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

لماذا يظهر ثابت التكامل C في كل تكامل غير محدد: مشتقة الدالة الثابتة صفر، فتكامل الصفر يساوي C، وكل دالة تُكتب f(x)+0، مع عائلة المنحنيات x²/2+C وتحديد C… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

مقدمة في التفاضل والتكامل

الثانوية

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

الثانوية

العمق الفلسفي للتكامل — تراكم المساحات

الثانوية

التكامل والتفاضل لدوال كثيرات الحدود

الثانوية

لماذا مشتقة ال cos عبارة عن سالب sin (لماذا الإشارة السالبة؟)

مفاهيم متنوعة