القطع الزائد الأفقي والرأسي بكل تفاصيله ومعادلته القياسية
التحليل:
• ،
•
• المركز: ، النوع: أفقي (لأن موجب)
• الرؤوس: ، البؤرتان:
• الخطوط المقاربة:
• الانحراف اللامركزي:
التحليل:
• المركز:
• (تحت ) ،
•
• النوع: رأسي (لأن موجب)
• الرؤوس: و
• البؤرتان:
• الخطوط المقاربة:
• الانحراف اللامركزي:
الحل: من الرؤوس ومن البؤرتين ، ثم نجد من العلاقة الأساسية:
اختبار: القطع الزائد
1 / 7الدائرة
المعادلة القياسية للدائرة هي x² + y² = r². الطرف الأيمن يمثل نصف القطر تربيع (r²) وليس نصف القطر نفسه؛ فإذا كان r² = 25 فإن r = 5، وإذا كان r² = 9 فإن r = 3.
في معادلة الدائرة معاملات x² و y² متساوية، وجميع الإشارات موجبة. والنتيجة أنه لا يوجد اتجاه أفقي أو رأسي للدائرة، فتدوير الدائرة لا يغير شكلها.
القطع المكافئ
للقطع المكافئ معادلتان قياسيتان: x² = 4cy أو y² = 4cx. القاعدة الأساسية أن حداً واحداً فقط يحتوي على تربيع، أما الحد الآخر فلا يحتوي على تربيع، ويكون فيه المعامل 4c.
اتجاه الفتحة يتحدد من الحد غير المربع وإشارته: x² = 4cy يفتح لأعلى، و x² = -4cy يفتح لأسفل، و y² = 4cx يفتح لليمين، و y² = -4cx يفتح لليسار.
القطع الناقص
المعادلة القياسية للقطع الناقص هي x² / a² + y² / b² = 1. جميع الحدود موجبة، والطرف الأيمن يساوي 1، والمقامان مختلفان: الأكبر يسمى a² والأصغر يسمى b².
إذا كان a² تحت x² فالمحور الأكبر أفقي، وإذا كان a² تحت y² فالمحور الأكبر رأسي.
حالة خاصة: إذا أصبح المقامان متساويين، أي a² = b²، تحول الشكل إلى دائرة، لأنه لم يعد يوجد محور أكبر ومحور أصغر.
القطع الزائد
المعادلة القياسية للقطع الزائد هي x² / a² - y² / b² = 1 أو y² / a² - x² / b² = 1. الطرف الأيمن يساوي 1، ويوجد حد موجب وحد سالب، و a² دائماً تحت الحد الموجب، و b² دائماً تحت الحد السالب.
للتذكر: رغم اسمه «القطع الزائد»، فإن معادلته تحتوي على علامة الطرح.
الاتجاه يتحدد من الحد الموجب: إذا كان الحد الموجب هو x² فالقطع يفتح أفقياً (يميناً ويساراً) على شكل C و C معكوسة، وإذا كان الحد الموجب هو y² فالقطع يفتح رأسياً (أعلى وأسفل) على شكل U و U مقلوبة.
كلما زاد الفرق بين a و b اتسعت فتحة القطع الزائد وتغير شكل المنحنى بشكل أوضح. وحتى إذا كانت a = b فإن الشكل لا يتحول إلى دائرة، بخلاف القطع الناقص.
ملخص سريع
الدائرة: x² + y² = r²، الإشارتان موجبتان، ولا يوجد اتجاه.
القطع المكافئ: حد واحد فقط عليه تربيع، والإشارة حسب ±4c؛ التربيع على x يعني الفتح لأعلى أو لأسفل، والتربيع على y يعني الفتح لليمين أو لليسار.
القطع الناقص: حدان موجبان والطرف الأيمن يساوي 1؛ المقام الأكبر (a²) يحدد المحور الأكبر.
القطع الزائد: حد موجب وحد سالب والطرف الأيمن يساوي 1؛ الحد الموجب يحدد اتجاه الفتحة.
عن هذا الدرس
تعريف القطع الزائد ومعادلته القياسية في الحالتين الأفقية والرأسية مع محاكٍ تفاعلي، وقانون العلاقة بين a و b و c، والخطوط المقاربة، والانحراف اللامركزي،… هذا الدرس ضمن محاكاة أشكال القطوع المخروطية التفاعلية لمنهج مفاهيم متنوعة القطوع المخروطية في أكاديمية موسى.