الفرق بين KCL و KVL: الإشارات والاتجاهات في تحليل العقد Nodal Analysis وتحليل الحلقات Mesh Analysis بمثال محلول

KCL و KVL

لما نقارن ما بين الـ KCL والـ KVL: الـ KCL مرتبط بالتيارات، فيقول لك إن ما في تيار يتجمّع في نود معين، لازم مجموع التيار الداخل يساوي التيار الخارج. طبعًا من هذا الكلام طلعنا الـ Nodal Analysis، اللي نقدر نطلع فيه المجاهيل في الدائرة الكهربائية.

نروح إلى الـ KVL. الـ KVL يقول لك إن ما في فولتية تتراكم على لوب مغلق، فبالنسبة للفولت مجموع الارتفاع في الفولت يساوي مجموع الانخفاض في الفولت بالنسبة للوب مغلق. أو نقدر نقول: إذا أخذنا الارتفاع في الفولت وزدنا عليه الانخفاض في الفولت راح يطلع صفر، فهي نفس الطريقة. والكلام هذا بنينا عليه الـ Mesh Analysis.

الـ Mesh أصغر لوب

في هذه الطريقة نأخذ أصغر لوب، اللي هي الـ Mesh، ونطلع منها معادلة KVL. فكذا كل Mesh راح نطلع منه معادلة، وبالتالي سيطلع عندنا نظام معادلات، عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل، ونقدر نحل لكل مجهول.

الأخطاء الشائعة

دائمًا الأخطاء الشائعة تكون في الإشارات والاتجاهات. فبالنسبة للـ Nodal Analysis لازم تحدد وين التيار الداخل ووين التيار الطالع، ولازم تحدد اتجاهك وتثبت على هذا الاتجاه، لأن تحديد الاتجاه راح يترتب عليه إشارة الناتج.

KCL باتجاه مختلف

عندنا هذه دائرة حلّيناها في الدرس السابق: عندنا 12 V، وعندنا V₁ هنا 6 V، وV₂ 3 V. فوق عندنا 2 Ω و2 Ω، وفي النص 4 Ω، وعلى اليمين 2 Ω. الآن V₁ وV₂ محلولة ومعروفة، بس خلونا نشوف تغيير الاتجاه كيف يؤثر في الـ KCL.

في حل هذه المعادلة فرضنا أن التيار اللي جاي من المصدر يساوي مجموع التيارين اللي طالعين: عندنا هنا التيار اللي فوق والتيار اللي تحت. فممكن يأتي شخص ويقول لك: أنا أقول التيار اللي جاي من المصدر زائد التيار اللي جاي من تحت عبر الـ 4 Ω يساوي التيار الخارج. فهذا الكلام سليم، ولكن بشرط أن نحافظ على الاتجاهات.

يعني التيار اللي جاي من هنا: 12 ناقص V₁ على 2، أي 12 ناقص 6 على 2، معناه راح يطلع 3 أمبير. أما التيار اللي جاي من تحت، بما أننا اخترنا الاتجاه كذا، فما راح يكون 6 على 4، لا، راح يكون 0 ناقص 6 على 4، لأنه جاي من تحت إلى أعلى، فنأخذ الفولتية اللي تحت 0 ناقص اللي وصلنا لها 6 تقسيم 4، فراح يطلع معنا بالسالب: سالب 1.5.

فالآن نقدر نساويه بالتيار اللي رايح لليمين، لأنهم اثنين داخلين: اللي داخل من الـ 3 واللي داخل من تحت عبر الـ 4 Ω سالب 1.5، معناه اللي طالع من هنا 1.5. وبالفعل لو حسبنا التيار هنا: 6 ناقص 3 على 2 يساوي 1.5. هذا بالنسبة للـ KCL، لأنه لازم نحافظ على الاتجاهات، وطبعًا هذا ينطبق على الـ Nodal Analysis اللي يعتمد على الـ KCL.

تيارات الـ Mesh وإشاراتها

لكن لو رحنا إلى الـ Mesh Analysis والـ KVL، وين الإشكاليات اللي تجي معنا؟ أولًا لازم نحدد التيارات: اتجاه التيار هنا نخليه مع عقارب الساعة I₁، وI₂ هنا أيضًا مع عقارب الساعة. هذه النقطة الأولى.

النقطة الثانية: التيار يدخل المقاومة من الموجب ويطلع من السالب. في المقاومة اللي هنا 2 Ω: موجب، سالب. المقاومة الـ 4 Ω يدخلها I₁ من فوق ويطلع من تحت، معناه فوق موجب وتحت سالب. لاحظ هنا أن الموجب والسالب على المقاومة يعتمد على اتجاه التيار، فلو عكسناه انعكست معه الإشارات.

الآن نروح إلى I₂ مع عقارب الساعة. لاحظ أنه لما يجي على الـ 4 Ω يدخلها من تحت ويطلع من فوق، فبالنسبة لـ I₂ والإشارات على الـ 4 Ω، بما أنه يدخل من تحت ويطلع من فوق، فتحت موجب هنا وفوق سالب. أما بالنسبة للـ 2 Ω فيدخل من اليسار ويطلع على اليمين، فنحافظ على القاعدة: موجب هنا، سالب هنا. وأخيرًا المقاومة اللي هنا 2 Ω: فوق موجب وتحت سالب، لأن التيار يدخل من فوق ويطلع من تحت.

الآن اتفقنا على الاتجاهات، وبناءً عليها حددنا الإشارات. أما مصادر الجهد فعادة تكون اتجاهاتها محددة: حاطّين لك الموجب والسالب.

معادلة الـ Mesh الأول

فالآن نمشي في الـ Mesh الأول: نمشي مع اتجاه التيار ونشوف أي إشارة نواجهها أولًا، سالبة أو موجبة. دائمًا أفضّل أن أضع علامة يساوي، وعلى جهة أضع الارتفاع، وعلى الجهة الثانية أضع النزول في الفولت. فمعناها أني أمشي مع اللوب: اللي تجيني إشارته موجبة أضعه في جهة وأجمعهم مع بعض، واللي تجيني إشارته سالبة أضعه في جهة وأجمعهم مع بعض.

فبالنسبة لمصدر الجهد راح أجي من تحت وألتقي بالإشارة السالبة، راح أخليه 12 على الجهة اليسار، تساوي. المقاومة اللي فوق هنا راح ألتقي بالموجبة أولًا فأضعها على اليمين: الفولت اللي عليها عبارة عن 2، المقاومة ضرب التيار اللي هو I₁ عندنا هنا. وعلى المقاومة 4 راح ألتقي بالموجبة أولًا، فمعناها راح أجمع الـ voltage drop اللي هنا مع الـ voltage drop على المقاومة الثانية، فأقول زائد المقاومة في التيار: الفولت عبارة عن المقاومة في التيار، 4 في... لكن التيار الآن عندي تياران متصادمان، اللي هو I₁ ناقص I₂. تقريبًا هذه أصعب نقطة في الـ Mesh Analysis. خلصنا الآن المعادلة الأولى.

معادلة الـ Mesh الثاني

نروح لمعادلة الـ Mesh الثاني. نبدأ من فوق: عندنا هنا كله نزول. هنا نلتقي بموجبة 2 Ω، والـ 2 Ω اللي هنا أيضًا موجبة، والـ 4 Ω اللي هنا راح نجيها من تحت راح تكون موجبة، فراح نضعهم كلهم في جهة واحدة ونقول يساوون صفر.

فوق هنا عندنا I₂ في 2، الـ voltage drop اللي هنا، زائد أيضًا I₂ في 2، الـ voltage drop على المقاومة اليمين، زائد 4 هنا، والآن نعكس: I₂ ناقص I₁، لأنه الآن يهمنا I₂، إحنا في الـ Mesh تبع I₂، فنقول 4 ضرب I₂ ناقص I₁، ونساوي هذا الكلام بصفر ونحل المعادلة.

معادلتان لمجهولَين I₁ وI₂ ونقدر نحلهما. إذا طلعنا التيارات في كل فرع نقدر نطلع الفولتية في كل نود.