الدائرة

الدائرة هي مجموعة من النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن مركز الدائرة.

المسافة من المركز إلى محيط الدائرة تسمى نصف القطر، أما المسافة التي تمر بالمركز وتصل بين نقطتين على المحيط فتسمى القطر.

والوتر هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة، ويعد القطر حالة خاصة من الوتر لأنه يمر بمركز الدائرة.

الزوايا المركزية

الزاوية المركزية هي الزاوية التي يكون رأسها في مركز الدائرة.

ومجموع الزوايا المركزية غير المتداخلة في الدائرة يساوي:

360°

ويقابل كل زاوية مركزية قوس أصغر وقوس أكبر، وإذا كانت الزاوية المركزية 180° فإنها تقسم الدائرة إلى نصفين متساويين.

طول القوس

لحساب طول القوس نستخدم القانون:

طول القوس = (قياس الزاوية ÷ 360) × محيط الدائرة

ومحيط الدائرة يساوي:

2πr

أو:

πd

حيث r نصف القطر وd القطر.

الأوتار والأقواس

إذا كان وتران متساويين في الطول، فإن القوسين المقابلين لهما يكونان متساويين أيضًا.

كما أن القطر أو نصف القطر العمودي على الوتر يقسم الوتر إلى قسمين متساويين، ويقسم القوس المقابل له إلى قوسين متساويين.

الزوايا المحيطية

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يكون رأسها على محيط الدائرة.

وتنص نظرية الزاوية المحيطية على أن:

قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل لها.

وإذا كانت عدة زوايا محيطية تقابل القوس نفسه، فإنها تكون متساوية في القياس.

الزاوية المحيطية المرسومة على قطر

إذا كانت الزاوية المحيطية تقابل نصف الدائرة، فإنها تقابل قطرًا.

وفي هذه الحالة يكون قياسها:

90°

الشكل الرباعي الدائري

إذا كانت رؤوس الشكل الرباعي جميعها تقع على محيط الدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه تكونان متكاملتين.

أي أن مجموعهما يساوي:

180°

المماس

المماس هو مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط، وتسمى نقطة التماس.

ويمكن رسم مماسات مشتركة بين دائرتين، ويختلف عددها حسب وضع الدائرتين.

ومن أهم نظريات المماس أن:

المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.

كما أن المماسين المرسومين من نقطة واحدة خارج الدائرة يكونان متساويين في الطول.

القاطع

القاطع هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.

وقد يتقاطع قاطعان داخل الدائرة أو خارجها.

تقاطع وترين أو قاطعين داخل الدائرة

إذا تقاطع وتران أو قاطعان داخل الدائرة، فإن:

قياس زاوية التقاطع = نصف مجموع القوسين المقابلين لها.

الزاوية المماسية

إذا تقاطع مماس مع وتر عند نقطة التماس، فإن:

قياس الزاوية المماسية = نصف قياس القوس المقابل لها.

وهي نفس قاعدة الزاوية المحيطية.

التقاء المماسات والقواطع خارج الدائرة

إذا التقى مماسان، أو مماس وقاطع، أو قاطعان خارج الدائرة، فإن:

قياس زاوية التقاطع = نصف (قياس القوس الأكبر − قياس القوس الأصغر).

نظرية الوترين المتقاطعين

إذا تقاطع وتران داخل الدائرة، فإن حاصل ضرب جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الثاني.

نظرية القاطعين

إذا خرج قاطعان من نقطة واحدة خارج الدائرة، فإن:

طول القاطع الأول × الجزء الخارجي منه = طول القاطع الثاني × الجزء الخارجي منه.

نظرية المماس والقاطع

إذا خرج مماس وقاطع من نقطة واحدة خارج الدائرة، فإن:

مربع طول المماس = طول القاطع كاملًا × الجزء الخارجي من القاطع.

معادلة الدائرة

إذا كان مركز الدائرة عند نقطة الأصل، فإن معادلتها هي:

x² + y² = r²

أما إذا كان مركزها عند النقطة (h ، k)، فإن معادلتها تصبح:

(x - h)² + (y - k)² = r²

ويجب الانتباه إلى أن إشارات إحداثيات المركز تظهر داخل المعادلة بعكس إشاراتها الأصلية بسبب وجود إشارة السالب في الصيغة الأساسية.

كما أن الطرف الأيمن من المعادلة يمثل دائمًا مربع نصف القطر.