الدائرة

الرياضيات — الهندسة

الهدف: فهم مكونات الدائرة والزوايا والأوتار والمماسات والقواطع ومعادلة الدائرة.

الزوايا المركزية والمحيطية

نظريات القياس والقوس

الأوتار والمماسات

نظريات التقاطع والأطوال

معادلة الدائرة

المركز ونصف القطر

مكونات الدائرة

— كل النقاط على محيط الدائرة تبعد نفس المسافة عن المركز.

— نصف القطر (r): المسافة من المركز إلى المحيط.

— القطر (d): المسافة من محيط إلى محيط مروراً بالمركز، وهو حالة خاصة من الوتر.

— الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على المحيط دون المرور بالمركز.

d = 2r

— استعرض مكونات الدائرة:

نصف القطر القطر وتر

ملاحظة

— القطر هو أطول وتر في الدائرة. إذا مرّ الوتر بالمركز أصبح قطراً.

محيط الدائرة = 2πr = πd

الزوايا المركزية وطول القوس

— الزاوية المركزية: رأسها في مركز الدائرة.

— مجموع الزوايا المركزية غير المتداخلة يساوي 360°.

— لكل زاوية مركزية قوسان: قوس أصغر وقوس أكبر.

قاعدة طول القوس

\text{طول القوس} = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r

— حرّك الزاوية لمشاهدة القوس:

الزاوية θ 90°

ملاحظة

— إذا كانت الزاوية 180° تساوى القوسان وكل منهما نصف المحيط.

نسبة القوس = نسبة الزاوية من 360°

الزوايا المحيطية

— الزاوية المحيطية: رأسها على محيط الدائرة (لا في المركز).

— نظرية: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.

\text{الزاوية المحيطية} = \frac{1}{2} \times \text{القوس المقابل}

نتائج مهمة

— زاويتان محيطيتان تقابلان نفس القوس: متساويتان.

— الزاوية المحيطية المقابلة للقطر (نصف دائرة) تساوي 90°.

نظرية الشكل الرباعي المحاط بدائرة

— إذا كانت رؤوس الشكل الرباعي على محيط الدائرة فكل زاويتين متقابلتين متكاملتان:

\angle A + \angle C = 180° \qquad \angle B + \angle D = 180°

ملاحظة

— الزاوية المركزية = ضعف الزاوية المحيطية المقابلة لنفس القوس.

زاوية محيطية = ½ × القوس — زاوية على قطر = 90°

الأوتار والقطر العمودي

— إذا كان وتران متطابقان فقوساهما الأصغران متطابقان أيضاً.

— إذا كان القطر عمودياً على وتر فإنه يقسمه إلى قسمين متساويين.

— العمود المنصف لأي وتر يمر بمركز الدائرة (يعطينا نصف قطر أو قطر).

نظرية تقاطع الوترين داخل الدائرة

— إذا تقاطع وتران داخل الدائرة:

AB \times BC = DB \times BE

— زاوية التقاطع = نصف مجموع القوسين المقابلين:

\angle 1 = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{DC})

ملاحظة

— حاصل ضرب جزأي أي وتر يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الآخر عند تقاطعهما داخل الدائرة.

وتر ⊥ قطر ← القطر ينصف الوتر

المماسات والقواطع

— المماس: مستقيم يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط.

— المماس دائماً عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.

— مماسان من نقطة خارجية: متطابقان في الطول.

نظرية الزاوية المماسية (مماس + قاطع)

— كل زاوية بين مماس وقاطع عند نقطة التماس:

\angle 1 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AB} \qquad \angle 2 = \frac{1}{2} \overset{\frown}{CB}

نظرية التقاطع خارج الدائرة (قاطعان، مماس وقاطع، أو مماسان)

— في جميع الحالات الثلاث: الزاوية = نصف الفرق بين القوسين:

\angle A = \frac{1}{2}(\text{القوس الأكبر} - \text{القوس الأصغر})

نظرية الأطوال — قاطعان خارج الدائرة

AC \times AB = AE \times AD

— مماس وقاطع من نقطة خارجية:

JK^2 = JM \times JL

ملاحظة

— في نظرية القاطع: الطول الكامل × الجزء الخارجي. في نظرية المماس: مربع طول المماس.

تقاطع خارجي: زاوية = ½(فرق القوسين) — تقاطع داخلي: زاوية = ½(مجموع القوسين)

معادلة الدائرة

الحالة الأولى: المركز في نقطة الأصل (0، 0)

x^2 + y^2 = r^2

الحالة الثانية: المركز في النقطة (a، b)

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

مثال ١: مركز (2، 3) ونصف قطر 5

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25

مثال ٢: مركز (−2، −3) ونصف قطر 5

— الإشارات تُعكس في المعادلة:

(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

ملاحظة

— علامة السالب موجودة في المعادلة الأصلية، لذا إحداثيات المركز تُعكس إشاراتها عند الكتابة. r في المعادلة هو نصف القطر لا القطر.

(x − a)² + (y − b)² = r² — المركز (a، b) ونصف القطر r

ملخص النظريات

النظرية	القاعدة
طول القوس	(θ ÷ 360) × 2πr
الزاوية المحيطية	= ½ × القوس المقابل
زاوية على قطر	= 90°
شكل رباعي محاط	زاويتان متقابلتان مجموعهما 180°
وتران يتقاطعان داخلاً	AB × BC = DB × BE
قاطعان يتقاطعان خارجاً	كامل × خارجي = كامل × خارجي
مماس وقاطع خارجاً	مماس² = كامل × خارجي
معادلة الدائرة	(x−a)² + (y−b)² = r²

الخلاصة

— الزاوية المركزية رأسها في المركز، والمحيطية رأسها على المحيط = نصف المركزية.

— زاوية على القطر = 90°، والشكل الرباعي المحاط: المتقابلتان مجموعهما 180°.

— تقاطع داخلي: زاوية = نصف مجموع القوسين — تقاطع خارجي: زاوية = نصف فرق القوسين.

— نظرية الأطوال: في الداخل اضرب الجزأين، في الخارج اضرب الكامل في الخارجي.

— معادلة الدائرة: إحداثيات المركز تُعكس إشاراتها، والطرف الأيمن نصف القطر مربعاً.

ملخص رياضيات أول ثانوي (الفصل الثالث) الجزء الثاني

الشرح

الدائرة

مكونات الدائرة

الزوايا المركزية وطول القوس

الزوايا المحيطية

الأوتار والقطر العمودي

المماسات والقواطع

معادلة الدائرة

ملخص النظريات

الخلاصة