الفرق بين معادلة الدائرة ومعادلة القطع الناقص: الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص عندما تتساوى المقامات ونصف القطر هو الجذر التربيعي للطرف الأيمن
الدائرة حالة خاصة من القطع الناقص
مقارنة بسيطة بين معادلة الدائرة ومعادلة القطع الناقص. في ارتباط كبير بين الشكلين، ونقدر نقول إن الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص.
معادلة القطع الناقص
هنا عندنا معادلة القطع الناقص: الحد اللي على اليمين يساوي واحد، والعلامة بين الحدين موجبة، والنقطة الأهم إن المقامات مختلفة؛ عندنا المقام الأول تحت حد x، والمقام الثاني تحت حد y.
كيف نحصل على دائرة؟
بكل بساطة نساوي المقامات فيصير عندنا دائرة. هنا مثلًا عندنا المقامان 5 و9، فهذه معادلة قطع ناقص؛ لو خلّيناها 5 و5 صار عندنا دائرة.
الصورة القياسية لمعادلة الدائرة
طيب، هذه الصورة القياسية لمعادلة الدائرة، ونلاحظ أن الطرف الأيمن ما هو لازم يساوي 1؛ الطرف الأيمن عبارة عن نصف القطر تربيع، اللي هي r تربيع.
نصف القطر √5 وليس 5
لو رجعنا لمعادلتنا وضربنا الطرفين في 5، تُلغى المقامات فيصير كل مقام يساوي واحد، والطرف الأيمن يساوي 5، وهو عبارة عن نصف القطر تربيع؛ معناته نصف القطر لهذه الدائرة يساوي الجذر التربيعي للخمسة، وليس الخمسة.
هندسيًا: نضغط القطع الناقص حتى تتطابق البؤرتان
هندسيًا، نأخذ قطعًا ناقصًا أفقيًا مثل هذا، ونضغطه من الطرفين بحيث تتطابق البؤرتان، فيصير عندنا دائرة.
تساوي المقامات = تساوي المحورين
ونرجع للقطع الناقص: هذا هو المحور الأكبر، هنا a وهنا a، وهذا المحور الأصغر، هنا b وهنا b. فلما نقول نساوي المقامات، كأننا نساوي المحور الأكبر بالمحور الأصغر. ونقدر نساويهما بأن نصغّر الأكبر حتى يصير مثل الأصغر فتطلع عندنا دائرة، أو نكبّر الأصغر حتى يوصل لنفس قياس الأكبر فتطلع عندنا أيضًا دائرة أكبر. فهذه بعض النقاط اللي تخلّينا نتذكر المعادلتين ونربطهما ببعض.
عن هذا الدرس
مقارنة بين معادلة القطع الناقص x²/a² + y²/b² = 1 ومعادلة الدائرة: الطرف الأيمن 1 وإشارة موجبة ومقامان مختلفان، فإذا تساوى المقامان صار الشكل دائرة، ثم… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.