جمع العبارات النسبية وطرحها

١ المفاهيم الأساسية

لجمع العبارات النسبية أو طرحها، أعد كتابتها بحيث تكون مقاماتها متساوية (LCM)، ثم اجمع أو اطرح البسطين.

قاعدة الجمع والطرح

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}

من الأفضل أن يكون المقام المشترك هو LCM للمقامات.

مثال على الأعداد

\frac{2}{5} \pm \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} \pm \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3} = \frac{6 \pm 5}{15}

الخطوة ١

أوجد LCM للمقامات

الخطوة ٢

حوّل كل كسر للمقام المشترك

الخطوة ٣

اجمع أو اطرح البسطين وبسّط

٢ مثال ١ — LCM لوحيدات الحد وكثيرات الحدود

أ — أوجد LCM لـ: 6xy, 15x², 9xy⁴

حلّل كلًّا

6xy = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y

15x^2 = 3 \cdot 5 \cdot x^2

9xy^4 = 3 \cdot 3 \cdot x \cdot y^4

اضرب القوى الأكبر

\text{LCM} = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^4 = 90x^2y^4

\text{LCM} = 90x^2y^4

ب — أوجد LCM لـ: y⁴+8y³+15y², y²−3y−40

حلّل كلًّا

y^4+8y^3+15y^2 = y^2(y+5)(y+3)

y^2-3y-40 = (y+5)(y-8)

اضرب القوى الأكبر

\text{LCM} = y^2(y+5)(y+3)(y-8)

\text{LCM} = y^2(y+5)(y+3)(y-8)

٣ مثال ٢ — جمع عبارات نسبية مقاماتها وحيدات حد

بسّط العبارة

\frac{3y}{2x^3} + \frac{5z}{8xy^2}

وحّد المقامات — LCM = 8x³y²

= \frac{3y}{2x^3} \cdot \frac{4y^2}{4y^2} + \frac{5z}{8xy^2} \cdot \frac{x^2}{x^2}

اضرب الكسور

= \frac{12y^3}{8x^3y^2} + \frac{5x^2z}{8x^3y^2}

اجمع البسطين

= \frac{12y^3 + 5x^2z}{8x^3y^2}

\frac{12y^3 + 5x^2z}{8x^3y^2}

الناتج النهائي المبسّط

٤ مقارنة — LCM للأعداد مقابل كثيرات الحدود

٥ مثال ٣ — تبسيط الكسور المركّبة بإيجاد LCM للمقامات

بسّط العبارة

\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{x}{y}}

LCM للبسط والمقام = xy

= \frac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right) \cdot xy}{\left(1-\dfrac{x}{y}\right) \cdot xy}

خاصية التوزيع

= \frac{xy + y}{xy - x^2}

استخرج العامل المشترك

= \frac{y(x+1)}{x(y-x)}

\frac{y(x+1)}{x(y-x)}

الناتج المبسّط للكسر المركّب

٦ أداة تفاعلية — استكشاف جمع الكسور النسبية

اختر مثالًا وحرّك المنزلق لرؤية القيمة الرقمية لكل كسر ومجموعهما.

اسحب المنزلق لاستكشاف القيم

قيمة x 3.0

الصورة المبسّطة

\frac{2x+2}{x(x+2)}

القيم غير المعرّفة

x = 0 و x = −2

٧ جدول المراجعة

الشرح