المنطق الرياضي Logic
الشرح
المنطق الرياضي
الرياضيات — المنطق الرياضي
الهدف: فهم العبارات المنطقية والنفي والوصل والفصل وجداول الحقيقة.
العبارة المنطقية
— جملة خبرية يمكن الحكم عليها بأنها صحيحة T أو خاطئة F — ولكن ليست الاثنتَين معاً.
— ✓ 5 + 3 = 8 — عبارة صحيحة T.
— ✓ الإسكندرية عاصمة مصر — عبارة خاطئة F.
— ✓ كل الطيور تطير — عبارة خاطئة F.
— ✗ ما اسمك؟ — سؤال، ليس عبارة.
— ✗ x + 5 = 10 — معادلة مفتوحة، تعتمد على قيمة x.
— ✗ أغلق الباب! — أمر، ليس عبارة.
النفي ~p
— يحول العبارة إلى عكس قيمتها. الرمز: ~p أو ¬p.
| p | ~p |
|---|---|
| T صواب | F خطأ |
| F خطأ | T صواب |
— p: "5 عدد زوجي" — خاطئة F. ~p: "5 ليس عدداً زوجياً" — صحيحة T.
الوصل p ∧ q
— ربط عبارتَين بـ "و". يكون صحيحاً فقط عندما تكون كلتاهما صحيحتَين.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
— "5 > 3 و 7 عدد زوجي": T ∧ F = F.
الفصل p ∨ q
— ربط عبارتَين بـ "أو". يكون خاطئاً فقط عندما تكون كلتاهما خاطئتَين.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | T ✓ |
| F | T | T ✓ |
| F | F | F |
— "باريس عاصمة فرنسا أو 2+2=5": T ∨ F = T.
جدول حقيقة مركب
— مثال: جدول الحقيقة للعبارة (p ∧ q) ∨ ~p.
| p | q | ~p | p ∧ q | (p∧q) ∨ ~p |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T |
— عدد الصفوف = 2ⁿ حيث n = عدد المتغيرات. متغيران → 4 صفوف.
تمارين محلولة
تمرين ١ — حدد قيمة الحقيقة:
— "10 > 5 و 3 عدد زوجي": T ∧ F = F.
— "مكة في السعودية أو القاهرة في المغرب": T ∨ F = T.
— "ليس صحيحاً أن 2+2=5": ~F = T.
تمرين ٢ — جدول حقيقة ~(p ∨ q):
| p | q | p ∨ q | ~(p ∨ q) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T ✓ |
— ~(p ∨ q) صحيحة فقط عندما تكون p و q كلتاهما خاطئتَين.
تمرين ٣ — تحدٍ: اكتب عبارة صحيحة فقط عندما p = T و q = F.
الجواب: p ∧ ~q
مرجع سريع للرموز
الخلاصة
— العبارة المنطقية: جملة خبرية لها قيمة T أو F فقط.
— ~p: يعكس القيمة — T يصبح F والعكس.
— p ∧ q: صحيح فقط عندما تكون كلتاهما T — صف واحد يُعطي T.
— p ∨ q: خاطئ فقط عندما تكون كلتاهما F — ثلاثة صفوف تُعطي T.
— عدد صفوف الجدول = 2ⁿ حيث n عدد المتغيرات.