قانون الفصل المنطقي وقانون القياس المنطقي
الرياضيات — المنطق الرياضي
الهدف: فهم قانونَي الفصل والقياس المنطقي وتطبيقهما في البراهين الرياضية.
قانون الفصل المنطقي
— إذا كانت العبارة الشرطية "إذا P فإن Q" صحيحة، وكان الفرض P صحيحاً، فإن النتيجة Q صحيحة.
مثال
— إذا كان قياس الزاوية بين 0° و 90° فإنها حادة. قياس الزاوية A = 45° → الزاوية A حادة.
تطبيق — قانون الفصل
— العبارة: إذا كان المثلث متساوي الأضلاع فإن جميع زواياه متساوية.
— الفرض: المثلث ABC متساوي الأضلاع.
— ما النتيجة المنطقية؟
قانون القياس المنطقي
— إذا كانت "إذا P فـ Q" و "إذا Q فـ R" كلتاهما صحيحتَين، فإن "إذا P فـ R" صحيحة.
أمثلة على قانون القياس
مثال ١ — الرياضيات:
— إذا كان العدد زوجياً فهو قابل للقسمة على 2.
— إذا كان قابلاً للقسمة على 2 فهو ليس فردياً.
مثال ٢ — الحياة:
— إذا حصلت على تأشيرة فيمكنك السفر.
— إذا سافرت فيمكنك زيارة نيويورك.
إذا حصلت على تأشيرة فيمكنك زيارة نيويورك
تطبيق — قانون القياس
— إذا كان العدد قابلاً للقسمة على 6 فهو قابل للقسمة على 3.
— إذا كان قابلاً للقسمة على 3 فمجموع أرقامه قابل للقسمة على 3.
— أكمل النتيجة:
مقارنة بين القانونين
الخلاصة
— قانون الفصل: إذا P→Q صحيحة وP صحيح، فـ Q صحيح (نستنتج الخبر مباشرةً).
— قانون القياس: إذا P→Q و Q→R صحيحتان، فـ P→R صحيحة (نتعدى الحلقة الوسطى).
— كلاهما أساسي في البراهين الرياضية: الفصل يُثبت حقائق، والقياس يبني سلاسل استنتاج.
قانون الفصل المنطقي وقانون القياس المنطقي
في هذا الدرس سنتعرف على قاعدتين مهمتين في المنطق الرياضي، وهما **قانون الفصل المنطقي (Law of Detachment)** و**قانون القياس المنطقي (Law of Syllogism)**، ويستخدمان كثيراً في الرياضيات والبرمجة لإجراء الاستنتاجات المنطقية.
قانون الفصل المنطقي
ينص قانون الفصل المنطقي على أنه إذا كانت لدينا عبارة شرطية صحيحة بالشكل:
**إذا كانت P فإن Q**
وكان الفرض **P** صحيحاً، فإن النتيجة **Q** تكون صحيحة بالضرورة.
ويرمز له بالشكل:
- P → Q - P - إذن Q
ويعتمد هذا القانون على تحقق شرطين:
- أن تكون العبارة الشرطية صحيحة. - أن يكون الفرض (P) قد تحقق.
مثال على قانون الفصل المنطقي
لنفترض أن لدينا العبارة التالية:
إذا كان قياس الزاوية أكبر من صفر وأقل من 90 درجة، فإن الزاوية حادة.
إذا علمنا أن زاويةً ما يقع قياسها بين 0 و90 درجة، فإننا نستنتج مباشرة أنها زاوية حادة.
قانون القياس المنطقي
يستخدم قانون القياس المنطقي عندما يكون لدينا عبارتان شرطيتان مرتبطتان.
إذا كانت:
- إذا كانت P فإن Q. - وإذا كانت Q فإن R.
فيمكن استنتاج:
- إذا كانت P فإن R.
ويرمز له بالشكل:
- P → Q - Q → R - إذن P → R
ويلاحظ أن نتيجة العبارة الأولى أصبحت فرضاً في العبارة الثانية، ولذلك يمكن الربط بين بداية العبارة الأولى ونهاية العبارة الثانية مباشرة.
مثال على قانون القياس المنطقي
لدينا العبارتان التاليتان:
- إذا حصلت على تأشيرة أمريكية، فيمكنك السفر إلى الولايات المتحدة. - إذا سافرت إلى الولايات المتحدة، فيمكنك زيارة مدينة نيويورك.
وباستخدام قانون القياس المنطقي نستنتج:
إذا حصلت على تأشيرة أمريكية، فيمكنك زيارة مدينة نيويورك.
مثال آخر
لدينا العبارتان:
- إذا أنهيت المرحلة الثانوية بتفوق، فستحصل على منحة جامعية. - إذا حصلت على منحة جامعية، فستدرس في إحدى أفضل عشر جامعات في العالم.
إذن نستنتج:
إذا أنهيت المرحلة الثانوية بتفوق، فستدرس في إحدى أفضل عشر جامعات في العالم.
الفرق بين القانونين
- **قانون الفصل المنطقي** يستخدم للتحقق من نتيجة مباشرة عندما يكون الفرض قد تحقق بالفعل. - **قانون القياس المنطقي** يستخدم لربط عبارتين شرطيتين متتاليتين للوصول إلى عبارة شرطية جديدة.
ملخص الدرس
- قانون الفصل المنطقي ينص على أنه إذا كانت العبارة الشرطية صحيحة، وتحقق الفرض، فإن النتيجة تكون صحيحة. - قانون القياس المنطقي يربط عبارتين شرطيتين عندما تكون نتيجة الأولى هي فرض الثانية. - يستخدم القانونان بكثرة في البرهان الرياضي، والمنطق، والبرمجة، والاستدلال المنطقي. - يساعد قانون الفصل المنطقي على استنتاج نتيجة مباشرة، بينما يساعد قانون القياس المنطقي على بناء استنتاج جديد من عبارتين شرطيتين.
عن هذا الدرس
قانون الفصل المنطقي وقانون القياس المنطقي في هذا الدرس سنتعرف على قاعدتين مهمتين في المنطق الرياضي، وهما قانون الفصل المنطقي (Law of Detachment) وقانون… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
