العبارات الشرطية
الرياضيات — المنطق الرياضي
الهدف: فهم العبارات الشرطية وأجزائها وعباراتها المرتبطة وجدول الصواب.
ما هي العبارة الشرطية؟
— عبارة من نوع "إذا P فإن Q" تربط فرضاً بنتيجة.
— الفرض P: الجزء الذي يأتي بعد "إذا".
— النتيجة Q: الجزء الذي يأتي بعد "فإن".
— مثال: إذا تعدت درجات الطالب 50، فإنه ناجح.
— الفرض P: تعدت درجات الطالب 50. النتيجة Q: الطالب ناجح.
جدول الصواب
— مثال: إذا كانت درجة الحرارة أقل من 0 فالماء يتجمد.
| P (الفرض) | Q (النتيجة) | P → Q |
|---|---|---|
| ✓ صواب | ✓ صواب | ✓ صواب |
| ✓ صواب | ✗ خطأ | ✗ خطأ |
| ✗ خطأ | ✓ صواب | ✓ صواب |
| ✗ خطأ | ✗ خطأ | ✓ صواب |
اضغط على أي صف للتفسير.
العبارات الشرطية المرتبطة
— مثال: "إذا كان قياس الزاوية 40°، فإن الزاوية حادة".
١ الأساسية (P → Q):
— إذا كان قياس الزاوية 40°، فإن الزاوية حادة. ✓
٢ العكس (Q → P):
— إذا كانت الزاوية حادة، فإن قياسها 40°. ✗ (قد تكون 30° أو 20°)
٣ المعكوس (¬P → ¬Q):
— إذا كان قياس الزاوية ≠ 40°، فإن الزاوية ليست حادة. ✗
٤ المعاكس الإيجابي (¬Q → ¬P):
— إذا كانت الزاوية ليست حادة، فإن قياسها ≠ 40°. ✓
التكافؤ المنطقي:
مثال ١ — تحديد الفرض والنتيجة
— "إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، فإن جميع زواياه متساوية."
— الفرض P: المثلث متساوي الأضلاع.
— النتيجة Q: جميع زواياه متساوية.
P → Q : متساوي الأضلاع → زوايا متساوية
مثال ٢ — كتابة العبارات المرتبطة
— "إذا كان المضلع مربعاً، فإنه متوازي أضلاع."
| العبارة | الصحة |
|---|---|
| الأساسية: إذا كان مربعاً فهو متوازي أضلاع | ✓ |
| العكس: إذا كان متوازي أضلاع فهو مربع | ✗ |
| المعكوس: إذا لم يكن مربعاً فليس متوازي أضلاع | ✗ |
| المعاكس الإيجابي: إذا لم يكن متوازي أضلاع فليس مربعاً | ✓ |
مثال ٣ — حالة خاصة (كل العبارات صحيحة)
— "إذا كان العدد زوجياً، فإنه يقبل القسمة على 2."
| العبارة | الصحة |
|---|---|
| الأساسية: زوجي → يقبل القسمة على 2 | ✓ |
| العكس: يقبل القسمة على 2 → زوجي | ✓ |
| المعكوس: ليس زوجي → لا يقبل القسمة على 2 | ✓ |
| المعاكس الإيجابي: لا يقبل القسمة على 2 → ليس زوجي | ✓ |
— السبب: "زوجي" و"يقبل القسمة على 2" مترادفان تماماً — تصنيف ثنائي (زوجي / فردي) لا توجد حالة ثالثة.
تطبيق — تحديد نوع المثلث
— استخدام العبارات الشرطية لتحديد نوع المثلث بحسب أكبر زاوية فيه.
ملخص العبارات المرتبطة
الخلاصة
— العبارة الشرطية: إذا P فإن Q — تربط فرضاً بنتيجة.
— الخطأ الوحيد: عندما يتحقق P ولا تتحقق Q (صواب → خطأ = خطأ).
— الأساسية ≡ المعاكس الإيجابي، والعكس ≡ المعكوس.
— التصنيف الثنائي: إذا كان P وQ مترادفَين تماماً فكل العبارات الأربع صحيحة.
العبارات الشرطية
في هذا الدرس سنتعرف على **العبارات الشرطية (Conditional Statements)**، وهي من أهم المفاهيم في الرياضيات والمنطق والبرمجة.
وتعتمد العبارة الشرطية على وجود شرط معين، فإذا تحقق هذا الشرط فإن نتيجة معينة تتحقق.
مفهوم العبارة الشرطية
تأخذ العبارة الشرطية الشكل التالي:
**إذا تحقق شرط معين، فإن نتيجة معينة تتحقق.**
فعلى سبيل المثال:
إذا حصل الطالب على أكثر من 50 درجة، فإنه ناجح.
ويتكون هذا النوع من العبارات من جزأين:
- **الفرض (Hypothesis):** وهو الجزء الذي يأتي بعد كلمة "إذا". - **النتيجة (Conclusion):** وهي الجزء الذي يأتي بعد كلمة "فإن".
ويرمز للفرض بالحرف **P**، وللنتيجة بالحرف **Q**، وتكتب العبارة الشرطية رياضياً بالشكل:
**P → Q**
استخدامات العبارات الشرطية
تستخدم العبارات الشرطية بشكل كبير في البرمجة.
فعلى سبيل المثال، إذا أردنا أن يحدد الحاسب ما إذا كانت زاوية ما حادة، يمكن كتابة الشرط التالي:
إذا كان قياس الزاوية أكبر من صفر وأقل من 90 درجة، فإن الزاوية حادة.
وبذلك يستطيع البرنامج تطبيق هذا الشرط على أي زاوية.
جدول الصواب للعبارة الشرطية
لنفترض أن:
- **P:** درجة الحرارة أقل من صفر. - **Q:** الماء متجمد.
وتكون حالات جدول الصواب كما يلي:
| P | Q | P → Q | |---|---|---| | صحيحة | صحيحة | صحيحة | | صحيحة | خاطئة | خاطئة | | خاطئة | صحيحة | صحيحة | | خاطئة | خاطئة | صحيحة |
الحالة الوحيدة التي تكون فيها العبارة الشرطية **خاطئة** هي عندما يتحقق الفرض ولا تتحقق النتيجة.
أما إذا لم يتحقق الفرض أصلاً، فإن العبارة الشرطية تعتبر صحيحة منطقياً.
العبارات الشرطية المرتبطة
انطلاقاً من العبارة الشرطية الأساسية يمكن تكوين ثلاث عبارات أخرى مرتبطة بها.
لنأخذ المثال التالي:
إذا كان قياس الزاوية 40 درجة، فإن الزاوية حادة.
العكس (Converse)
في العكس نقوم بتبديل الفرض والنتيجة.
فتصبح العبارة:
إذا كانت الزاوية حادة، فإن قياسها 40 درجة.
وهذه العبارة ليست صحيحة دائماً، لأن الزاوية الحادة قد يكون قياسها 20 أو 30 أو 60 درجة.
المعكوس (Inverse)
في المعكوس نبقي ترتيب العبارة كما هو، لكن ننفي الفرض والنتيجة.
فتصبح:
إذا كان قياس الزاوية لا يساوي 40 درجة، فإن الزاوية ليست حادة.
وهذه العبارة أيضاً ليست صحيحة دائماً، لأن الزاوية قد يكون قياسها 30 درجة، وهي ما زالت زاوية حادة.
المعاكس الإيجابي (Contrapositive)
في المعاكس الإيجابي نقوم بتبديل الفرض والنتيجة، ثم ننفي كلا الجزأين.
فتصبح العبارة:
إذا كانت الزاوية ليست حادة، فإن قياسها لا يساوي 40 درجة.
وهذه العبارة صحيحة دائماً، لأنها تعبر عن نفس المعنى المنطقي للعبارة الأصلية.
العبارات المتكافئة منطقياً
هناك عبارتان تكونان دائماً متكافئتين منطقياً:
- العبارة الشرطية الأصلية. - المعاكس الإيجابي (Contrapositive).
فإذا كانت العبارة الأصلية صحيحة، فإن المعاكس الإيجابي يكون صحيحاً أيضاً، وإذا كانت خاطئة يكون خاطئاً كذلك.
وكذلك توجد علاقة تكافؤ منطقي بين:
- العكس (Converse). - المعكوس (Inverse).
فإذا كان أحدهما صحيحاً كان الآخر صحيحاً، وإذا كان أحدهما خاطئاً كان الآخر خاطئاً.
ملخص الدرس
- العبارة الشرطية تتكون من فرض (P) ونتيجة (Q)، وتكتب بالشكل **P → Q**. - تستخدم العبارات الشرطية بكثرة في الرياضيات والبرمجة لاتخاذ القرارات. - تكون العبارة الشرطية خاطئة فقط إذا تحقق الفرض ولم تتحقق النتيجة. - يمكن تكوين ثلاث عبارات مرتبطة بالعبارة الأصلية: العكس، والمعكوس، والمعاكس الإيجابي. - العبارة الأصلية والمعاكس الإيجابي متكافئان منطقياً. - العكس والمعكوس أيضاً متكافئان منطقياً.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على العبارات الشرطية (Conditional Statements)، وهي من أهم المفاهيم في الرياضيات والمنطق والبرمجة. وتعتمد العبارة الشرطية على وجود شرط… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
