المنطق الرياضي
الرياضيات — المنطق الرياضي
الهدف: فهم العبارات المنطقية والنفي والوصل والفصل وجداول الحقيقة.
العبارة المنطقية
— جملة خبرية يمكن الحكم عليها بأنها صحيحة T أو خاطئة F — ولكن ليست الاثنتَين معاً.
— ✓ 5 + 3 = 8 — عبارة صحيحة T.
— ✓ الإسكندرية عاصمة مصر — عبارة خاطئة F.
— ✓ كل الطيور تطير — عبارة خاطئة F.
— ✗ ما اسمك؟ — سؤال، ليس عبارة.
— ✗ x + 5 = 10 — معادلة مفتوحة، تعتمد على قيمة x.
— ✗ أغلق الباب! — أمر، ليس عبارة.
النفي ~p
— يحول العبارة إلى عكس قيمتها. الرمز: ~p أو ¬p.
| p | ~p |
|---|---|
| T صواب | F خطأ |
| F خطأ | T صواب |
— p: "5 عدد زوجي" — خاطئة F. ~p: "5 ليس عدداً زوجياً" — صحيحة T.
الوصل p ∧ q
— ربط عبارتَين بـ "و". يكون صحيحاً فقط عندما تكون كلتاهما صحيحتَين.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
— "5 > 3 و 7 عدد زوجي": T ∧ F = F.
الفصل p ∨ q
— ربط عبارتَين بـ "أو". يكون خاطئاً فقط عندما تكون كلتاهما خاطئتَين.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| T | T | T ✓ |
| T | F | T ✓ |
| F | T | T ✓ |
| F | F | F |
— "باريس عاصمة فرنسا أو 2+2=5": T ∨ F = T.
جدول حقيقة مركب
— مثال: جدول الحقيقة للعبارة (p ∧ q) ∨ ~p.
| p | q | ~p | p ∧ q | (p∧q) ∨ ~p |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T |
— عدد الصفوف = 2ⁿ حيث n = عدد المتغيرات. متغيران → 4 صفوف.
تمارين محلولة
تمرين ١ — حدد قيمة الحقيقة:
— "10 > 5 و 3 عدد زوجي": T ∧ F = F.
— "مكة في السعودية أو القاهرة في المغرب": T ∨ F = T.
— "ليس صحيحاً أن 2+2=5": ~F = T.
تمرين ٢ — جدول حقيقة ~(p ∨ q):
| p | q | p ∨ q | ~(p ∨ q) |
|---|---|---|---|
| T | T | T | F |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | T ✓ |
— ~(p ∨ q) صحيحة فقط عندما تكون p و q كلتاهما خاطئتَين.
تمرين ٣ — تحدٍ: اكتب عبارة صحيحة فقط عندما p = T و q = F.
الجواب: p ∧ ~q
مرجع سريع للرموز
الخلاصة
— العبارة المنطقية: جملة خبرية لها قيمة T أو F فقط.
— ~p: يعكس القيمة — T يصبح F والعكس.
— p ∧ q: صحيح فقط عندما تكون كلتاهما T — صف واحد يُعطي T.
— p ∨ q: خاطئ فقط عندما تكون كلتاهما F — ثلاثة صفوف تُعطي T.
— عدد صفوف الجدول = 2ⁿ حيث n عدد المتغيرات.
المنطق
في هذا الدرس سنكمل دروس التبرير والبرهان، ونتعرف على أساسيات **المنطق**، وهو من أهم المفاهيم في الرياضيات وعلوم الحاسب والبرمجة.
ما المقصود بالمنطق؟
المنطق هو العلم الذي يدرس العبارات وكيفية تحديد ما إذا كانت صحيحة أو خاطئة، ويستخدم في بناء البراهين واتخاذ القرارات وكتابة الخوارزميات والبرامج.
العبارة (Statement)
العبارة هي جملة خبرية تعطينا معلومة، ولا تحتمل إلا احتمالين فقط:
- صحيحة. - خاطئة.
ولا يوجد احتمال ثالث.
وتسمى نتيجة العبارة بـ **قيمة الصواب (Truth Value)**.
أمثلة على العبارات
- الرياض هي عاصمة المملكة العربية السعودية. ✔️ عبارة صحيحة. - مكة المكرمة تقع في المملكة العربية السعودية. ✔️ عبارة صحيحة. - العدد 3 عدد زوجي. ✖️ عبارة خاطئة.
جميع هذه الأمثلة يمكن الحكم عليها بأنها صحيحة أو خاطئة فقط.
أمثلة ليست عبارات
ليست كل الجمل تعتبر عبارات.
فعلى سبيل المثال:
"الرياض قريبة من مكة."
هذه ليست عبارة منطقية؛ لأن الإجابة تعتمد على وجهة النظر أو معيار المقارنة، فقد يراها البعض قريبة بينما يراها آخرون بعيدة.
لذلك لا تمتلك قيمة صواب واحدة يتفق عليها الجميع.
نفي العبارة
يمكن نفي أي عبارة باستخدام رمز النفي.
ويعني النفي أننا نقول إن العبارة الأصلية ليست صحيحة.
مثال:
العبارة:
"العدد 3 عدد زوجي."
هذه عبارة خاطئة.
وعند نفيها تصبح:
"العدد 3 ليس عددًا زوجيًا."
فتصبح العبارة صحيحة.
العبارة المركبة
أحيانًا نربط أكثر من عبارة معًا لتكوين عبارة جديدة تسمى **العبارة المركبة**.
وأشهر أدوات الربط هي:
- و (AND) - أو (OR)
عبارة الوصل (AND)
إذا ربطنا عبارتين باستخدام **و**، فيجب أن تكون العبارتان صحيحتين حتى تكون العبارة المركبة صحيحة.
مثال:
إذا كان الجو **باردًا وممطرًا** في نهاية الأسبوع فسوف نخرج في نزهة.
في هذه الحالة يجب تحقق الشرطين معًا:
- الجو بارد. - الجو ممطر.
إذا اختل أحدهما تصبح العبارة المركبة غير متحققة.
عبارة الفصل (OR)
إذا ربطنا عبارتين باستخدام **أو**، فيكفي أن تكون إحدى العبارتين صحيحة حتى تصبح العبارة المركبة صحيحة.
مثال:
إذا كان الجو **باردًا أو ممطرًا** فسوف نخرج في نزهة.
هنا يكفي تحقق أحد الشرطين فقط.
مثال رياضي
لنفترض أن لدينا شكلًا هندسيًا، ولدينا العبارات التالية:
- الشكل مثلث. - للشكل ضلعان متطابقان. - جميع زواياه حادة.
### باستخدام "و"
إذا قلنا:
"الشكل مثلث **و** جميع زواياه حادة."
وكان الشكل مثلثًا فعلًا، لكن ليست جميع زواياه حادة، فإن العبارة المركبة تكون خاطئة؛ لأن أحد الشرطين غير صحيح.
### باستخدام "أو"
إذا قلنا:
"الشكل مثلث **أو** جميع زواياه حادة."
وكان الشكل مثلثًا فقط، فإن العبارة المركبة تكون صحيحة؛ لأن إحدى العبارتين صحيحة.
نفي العبارة المركبة
إذا نفينا العبارة الثالثة، تصبح:
"الشكل مثلث **وليس** جميع زواياه حادة."
إذا كان الشكل بالفعل مثلثًا وليس جميع زواياه حادة، فإن العبارتين صحيحتان، وبالتالي تكون العبارة المركبة صحيحة.
ملخص الدرس
- المنطق يعتمد على العبارات التي تكون صحيحة أو خاطئة فقط. - قيمة صحة العبارة تسمى **قيمة الصواب (Truth Value)**. - ليست كل الجمل تُعد عبارات؛ فالعبارة يجب أن يكون لها حكم واحد فقط: صحيحة أو خاطئة. - نفي العبارة يعكس قيمة الصواب الخاصة بها. - عبارة الوصل **(AND)** تتطلب صحة جميع العبارات. - عبارة الفصل **(OR)** يكفي فيها صحة إحدى العبارات. - يستخدم المنطق بشكل أساسي في الرياضيات والبرمجة وبناء البراهين والخوارزميات.
عن هذا الدرس
المنطق الرياضي, العبارة المنطقية, النفي المنطقي, العبارات المركبة, الوصل والفصل, جداول الحقيقة, logical statements, truth values, negation, compound… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
