المسلمات والبراهين الحرة
الرياضيات — الهندسة
الهدف: فهم المسلمات الأساسية للنقاط والمستقيمات والمستويات وكيفية استخدامها في البراهين.
ما هي المسلمة؟
— المسلمة عبارة تصف علاقة أساسية بين مفاهيم هندسية، تُقبل على أنها صحيحة بدون برهان.
— نستخدم المسلمات للانتقال من التخمين إلى النظرية المثبتة.
مثال من الحياة
— أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم — هذا واضح بديهياً ولا يحتاج إثباتاً.
مسلمة النقطتين والمستقيم
— أي نقطتين مختلفتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.
مسلمة الثلاث نقاط والمستوى
— أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.
مسلمة نقاط المستقيم
— كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل.
مسلمة نقاط المستوى
— كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل غير واقعة على استقامة واحدة.
مسلمة المستقيم والمستوى
— إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيم المار بهما يقع كلياً في ذلك المستوى.
مسلمة تقاطع المستقيمين
— إذا تقاطع مستقيمان فيتقاطعان في نقطة واحدة فقط.
مسلمة تقاطع المستويين
— إذا تقاطع مستويان فتقاطعهما يكون مستقيماً.
خطوات كتابة البرهان
مثال — برهان باستخدام المسلمات
المعطى: النقاط A، B، C لا تقع على استقامة واحدة.
المطلوب: إثبات أن هذه النقاط تحدد مستوى واحداً فقط.
— من المعطى: A، B، C لا تقع على استقامة واحدة.
— بمسلمة الثلاث نقاط والمستوى: أي ثلاث نقاط كهذه يمر بها مستوى واحد فقط.
النقاط A، B، C تحدد مستوى واحداً فقط
ملخص المسلمات
الخلاصة
— المسلمة: عبارة بديهية مقبولة بدون برهان، تُستخدم أساساً للبراهين.
— النظرية: تخمين تحوّل إلى حقيقة بعد إثباته بالمسلمات والتعاريف.
— البرهان: نبدأ من المعطى، نطبق المسلمات خطوة بخطوة، وننتهي بالمطلوب.
— المبررات: كل خطوة في البرهان يجب أن تستند إلى مسلمة أو تعريف أو نظرية سابقة.
المسلمات والبراهين الحرة
في هذا الدرس سنتعرف على مفهوم **المسلمات (Postulates)**، ودورها في بناء البراهين الرياضية، وكيف نستخدمها للوصول إلى إثبات النظريات.
ما هي المسلمة؟
المسلمة هي عبارة أو حقيقة أساسية تصف علاقة هندسية أو رياضية، نقبلها على أنها صحيحة دون الحاجة إلى برهان.
ويرجع ذلك إلى أنها بديهية وواضحة، ويتفق الجميع على صحتها، لذلك تُستخدم كأساس لبناء النظريات وإثباتها.
أمثلة على المسلمات في الحياة اليومية
هناك العديد من المسلمات التي نستخدمها في حياتنا اليومية دون الحاجة إلى إثبات، مثل:
- لا يمكن للشخص أن يوجد في مكانين مختلفين في الوقت نفسه. - أقصر مسافة بين نقطتين هي الخط المستقيم الواصل بينهما.
وتعد هذه الحقائق بديهية ومتفقاً عليها.
أمثلة على المسلمات في الهندسة
تعتمد الهندسة على مجموعة من المسلمات الأساسية، ومن أهمها:
### أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط
إذا حددنا نقطتين مختلفتين، فإنه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بهما، ولا يمكن رسم مستقيمين مختلفين يمران بالنقطتين نفسيهما.
### أي ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط
إذا كانت ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد، فإنه يوجد مستوى واحد فقط يحتوي هذه النقاط.
### كل مستقيم يحتوي على نقطتين على الأقل
وجود نقطة واحدة لا يكفي لتكوين مستقيم، لذلك فإن أقل عدد من النقاط التي تحدد مستقيمًا هو نقطتان.
### كل مستوى يحتوي على ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة
حتى يمكن تحديد مستوى، يجب أن يحتوي على ثلاث نقاط على الأقل، بشرط ألا تكون هذه النقاط على خط مستقيم واحد.
### إذا وقعت نقطتان في مستوى فإن المستقيم المار بهما يقع بالكامل في ذلك المستوى
إذا كانت نقطتان تنتميان إلى مستوى معين، فإن المستقيم الوحيد المار بهما يكون جزءًا من هذا المستوى بالكامل.
### إذا تقاطع مستقيمان فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط
عند تقاطع مستقيمين مختلفين يكون بينهما نقطة تقاطع واحدة فقط.
### إذا تقاطع مستويان فإن تقاطعهما يكون مستقيمًا
عندما يتقاطع مستويان مختلفان، فإن ناتج التقاطع يكون خطًا مستقيمًا.
لماذا نحتاج إلى المسلمات؟
تعد المسلمات الأساس الذي نبني عليه البراهين الرياضية.
فعند دراسة موضوع معين قد نصل أولاً إلى **تخمين** باستخدام التبرير الاستقرائي، ثم نستخدم المسلمات والتعريفات والنظريات لإثبات هذا التخمين بطريقة علمية.
وبعد نجاح البرهان يتحول التخمين إلى نظرية مثبتة.
خطوات كتابة البرهان
عند كتابة برهان رياضي نتبع الخطوات التالية:
1. كتابة المعطيات. 2. تحديد المطلوب إثباته. 3. استخدام التبرير الاستنتاجي للانتقال من الحقائق العامة إلى الحالة الخاصة. 4. الاستعانة بالتعريفات والمسلمات والنظريات المعروفة. 5. الوصول إلى النتيجة المطلوبة وإثبات صحة العبارة.
العلاقة بين التبرير والبرهان
يمر إثبات النظريات عادة بالمراحل التالية:
- الملاحظة والتبرير الاستقرائي. - الوصول إلى تخمين. - استخدام التبرير الاستنتاجي. - تطبيق المسلمات والتعريفات والنظريات. - الوصول إلى البرهان الرياضي. - إثبات النظرية بصورة علمية.
ملخص الدرس
- المسلمة هي حقيقة بديهية تُقبل دون برهان. - تعتمد الهندسة على مجموعة من المسلمات الأساسية المتعلقة بالنقاط والمستقيمات والمستويات. - تستخدم المسلمات كأساس لبناء البراهين الرياضية. - يبدأ الإثبات غالباً بتخمين، ثم يستخدم التبرير الاستنتاجي والمسلمات للوصول إلى البرهان. - بعد إثبات التخمين علمياً يصبح نظرية يمكن الاعتماد عليها في الرياضيات.
عن هذا الدرس
المسلمات والبراهين الحرة في هذا الدرس سنتعرف على مفهوم المسلمات (Postulates)، ودورها في بناء البراهين الرياضية، وكيف نستخدمها للوصول إلى إثبات النظريات.… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
