مسلمات القطع المستقيمة
الرياضيات — الهندسة
الهدف: فهم مسلمة أطوال القطع المستقيمة ومسلمة الجمع وتطبيقهما في البراهين.
المسلمتان الأساسيتان
— مسلمة أطوال القطع: كل قطعة مستقيمة لها قياس حقيقي موجب.
— مسلمة جمع الأطوال: إذا كانت B نقطة على القطعة AC، فإن:
ملاحظة
— المسلمات بديهية لا تحتاج إلى برهان، لكنها تُستخدم كأساس لإثبات نظريات أخرى.
مثال ١ — القطع المتقاطعة
المعطى: ED ≅ EG و CE ≅ FE.
المطلوب: إثبات أن CD ≅ FG.
— من المعطى: ED = EG و CE = FE.
— بمسلمة الجمع: CE + ED = CD و FE + EG = FG.
— بالتعويض: CD = FG ← CD ≅ FG.
CD ≅ FG □
مثال ٢ — نقاط على مستقيم واحد
المعطى: J, K, L, M على مستقيم واحد و JL ≅ KM.
المطلوب: إثبات أن JK ≅ LM.
— من المعطى: JL = KM.
— بمسلمة الجمع: JK + KL = JL و KL + LM = KM.
— بالتعويض: JK + KL = KL + LM.
— بالطرح (نطرح KL): JK = LM.
JK ≅ LM □
ملخص
الخلاصة
— مسلمة الأطوال: لكل قطعة مستقيمة طول حقيقي موجب.
— مسلمة الجمع: إذا كانت B بين A و C فـ AB + BC = AC.
— البرهان: نبدأ من المعطى، نطبق المسلمات والتعاريف والخواص، وننتهي بالمطلوب.
— خطوة أساسية: نحول التطابق إلى مساواة في الطول باستخدام التعريف، ثم نعمل بالجبر.
مسلمات أطوال القطع المستقيمة
في هذا الدرس سنواصل الحديث عن **المسلمات والبراهين**، وسنتعرف على مسلمتين أساسيتين تستخدمان كثيراً في البراهين الهندسية، وهما **مسلمة أطوال القطع المستقيمة** و**مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة**.
وبما أنهما مسلّمتان، فإنهما تعتبران حقائق بديهية لا تحتاج إلى إثبات.
مسلمة أطوال القطع المستقيمة
تنص هذه المسلمة على أن:
**كل قطعة مستقيمة لها طول موجب.**
فعند قياس أي قطعة مستقيمة باستخدام المسطرة، يبدأ القياس من الصفر وينتهي عند عدد موجب، لذلك يكون طول أي قطعة مستقيمة دائماً عدداً موجباً.
مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة
إذا كانت ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة، وكانت النقطة الثانية بين النقطتين الأولى والثالثة، فإن:
**طول القطعة الكاملة يساوي مجموع طولي القطعتين الجزئيتين.**
أي أن:
**AB + BC = AC**
وهذه من أكثر المسلمات استخداماً في البراهين الهندسية.
مثال أول
لدينا مستقيمان متقاطعان، والمعطيات هي:
- القطعة ED تطابق القطعة EG. - القطعة CE تطابق القطعة FE.
والمطلوب إثبات أن:
**القطعة CD تطابق القطعة FG.**
### خطوات البرهان
1. نكتب المعطيات. 2. باستخدام تعريف تطابق القطع المستقيمة نستنتج أن: - ED = EG - CE = FE 3. نطبق مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة: - CE + ED = CD - FE + EG = FG 4. نعوض بالقيم المتساوية. 5. نستنتج أن: - CD = FG 6. وبما أن الطولين متساويان، فإن القطعتين **CD** و**FG** متطابقتان.
مثال ثانٍ
لدينا أربع نقاط على مستقيم واحد هي:
**J ، K ، L ، M**
والمعطى أن:
**JL تطابق KM**
والمطلوب إثبات أن:
**JK تطابق LM**
### خطوات البرهان
1. من المعطيات: - JL = KM 2. باستخدام مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة: - JK + KL = JL - KL + LM = KM 3. نعوض لأن: - JL = KM 4. فنحصل على: - JK + KL = KL + LM 5. نطرح KL من طرفي المعادلة باستخدام خاصية الطرح للمساواة. 6. فيتبقى: - JK = LM 7. وباستخدام تعريف تطابق القطع المستقيمة نستنتج أن: - JK تطابق LM.
خطوات البرهان الهندسي
عند كتابة برهان يعتمد على أطوال القطع المستقيمة، نتبع الخطوات التالية:
1. كتابة المعطيات. 2. استخدام تعريف تطابق القطع المستقيمة لتحويل التطابق إلى مساواة في الأطوال. 3. تطبيق مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة عند الحاجة. 4. استخدام خواص المساواة مثل التعويض أو الطرح. 5. الوصول إلى النتيجة المطلوبة. 6. استخدام تعريف التطابق مرة أخرى إذا كان المطلوب إثبات تطابق قطعتين.
ملخص الدرس
- مسلمة أطوال القطع المستقيمة تنص على أن طول أي قطعة مستقيمة عدد موجب. - مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة تنص على أن طول القطعة الكاملة يساوي مجموع أطوال أجزائها الواقعة على استقامة واحدة. - يعتمد كثير من البراهين الهندسية على تحويل التطابق إلى مساواة، ثم استخدام مسلمات الأطوال وخواص المساواة للوصول إلى النتيجة المطلوبة. - بعد إثبات تساوي الأطوال يمكن استخدام تعريف تطابق القطع المستقيمة لإثبات أن القطعتين متطابقتان.
عن هذا الدرس
مسلمات أطوال القطع المستقيمة في هذا الدرس سنواصل الحديث عن **المسلمات والبراهين**، وسنتعرف على مسلمتين أساسيتين تستخدمان كثيراً في البراهين الهندسية، وهما… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
