شروط ضرب المصفوفات

اختبر فهمك

ما هو الشرط الأساسي لضرب مصفوفتين؟

هل يمكن ضرب مصفوفة (3 × 2) في مصفوفة (2 × 4)؟

ما هي أبعاد المصفوفة الناتجة من ضرب (3 × 2) في (2 × 4)؟

هل يمكن ضرب مصفوفة (4 × 3) في مصفوفة (2 × 5)؟

مصفوفة (5 × 3) يمكن ضربها في أي من المصفوفات التالية؟

عند ضرب (m × n) في (n × p)، ما هي أبعاد المصفوفة الناتجة؟

ما معنى الأرقام الداخلية في عملية الضرب؟

ما هي أبعاد المصفوفة الناتجة من ضرب (2 × 5) في (5 × 1)؟

إذا كانت المصفوفة A أبعادها (4 × 6) والمصفوفة B أبعادها (6 × 3)، ما هي أبعاد A × B؟

يمكن ضرب أي مصفوفتين طالما لديهما نفس الأبعاد

الأرقام الداخلية في عملية الضرب يجب أن تتساوى

أبعاد المصفوفة الناتجة تساوي الأرقام الخارجية

أي من العبارات التالية صحيحة؟

في عملية ضرب المصفوفات، الرقم الأول في أبعاد الناتج يأتي من:

في عملية ضرب المصفوفات، الرقم الثاني في أبعاد الناتج يأتي من:

حل بالخطوات

فحص إمكانية الضرب: هل يمكن ضرب مصفوفة 3×2 في مصفوفة 2×4؟

فحص عدم إمكانية الضرب: هل يمكن ضرب مصفوفة 4×3 في مصفوفة 5×2؟

حساب أبعاد الناتج: إذا كانت A مصفوفة 5×3 و B مصفوفة 3×7، ما أبعاد A×B؟

مسألة عكسية: إذا كان ناتج الضرب مصفوفة 4×6، وكانت المصفوفة الأولى 4×؟، ما رتبة المصفوفة الثانية؟

سلسلة ضربات: هل يمكن حساب (A×B)×C حيث A(2×3)، B(3×4)، C(4×1)؟

حالات خاصة: متى يمكن حساب A² (مربع المصفوفة)؟

الشرح

شروط ضرب المصفوفات

شرط الضرب

أعمدة الأولى = صفوف الثانية

الداخلي

يجب أن يتساوى

الخارجي

أبعاد الناتج

٠ المقدمة — أبعاد المصفوفة

— أبعاد المصفوفة تُعبَّر بصيغة: عدد الصفوف × عدد الأعمدة.

— الرقم الأول = الصفوف، الرقم الثاني = الأعمدة.

صفوف أعمدة

\underbrace{3} \times \underbrace{2} \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}

نكتب الأبعاد: (الصفوف × الأعمدة)

١ الشرط الأساسي لضرب المصفوفات

— عدد أعمدة المصفوفة الأولى = عدد صفوف المصفوفة الثانية.

— الرقم $n$ يجب أن يتساوى في الوسط.

A_{m \times n} \times B_{n \times p}

يمكن الضرب:

3×2 × 2×3 الداخلي 2=2 ✓

3×2 × 2×4 الداخلي 2=2 ✓

3×2 × 2×1 الداخلي 2=2 ✓

لا يمكن الضرب:

3×2 × 3×4 الداخلي 2≠3 ✗

3×2 × 4×2 الداخلي 2≠4 ✗

النتيجة: أعمدة الأولى = صفوف الثانية

٢ أبعاد المصفوفة الناتجة

— أبعاد المصفوفة الناتجة = الأرقام الخارجية فقط.

— الصفوف من المصفوفة الأولى، والأعمدة من المصفوفة الثانية.

A_{m \times n} \times B_{n \times p} = C_{m \times p}

مثال — ضرب 3×2 في 2×4:

(3 \times 2) \times (2 \times 4) = (3 \times 4)

الأرقام الداخلية 2 = 2 ✓ يمكن الضرب

الأرقام الخارجية 3 و 4 — أبعاد الناتج

الناتج = (صفوف الأولى × أعمدة الثانية)

٣ حاسبة تفاعلية — فحص إمكانية الضرب

أدخل أبعاد المصفوفتين لفحص إمكانية الضرب وأبعاد الناتج.

٤ الطريقة المختصرة — داخلي وخارجي

— الخطوة ١: افحص الأرقام الداخلية — هل تتساوى؟

— الخطوة ٢: خذ الأرقام الخارجية — هذه أبعاد الناتج.

مثال ١:

(2 \times 3) \times (3 \times 5)

الداخلي 3 = 3 ✓ يمكن

الناتج 2×5

مثال ٢:

(4 \times 2) \times (3 \times 5)

الداخلي 2 ≠ 3 ✗ لا يمكن

مثال ٣:

(5 \times 4) \times (4 \times 1)

الداخلي 4 = 4 ✓ يمكن

الناتج 5×1

تحقق من الداخلي أولاً، ثم خذ الخارجي

٥ ملخص القواعد

المفهوم	القاعدة	المثال
شرط الضرب	أعمدة الأولى = صفوف الثانية	n = n في الوسط
الأرقام الداخلية	يجب أن تتساوى	(3×2)×(2×4) — 2=2 ✓
الأرقام الخارجية	أبعاد المصفوفة الناتجة	(3×2)×(2×4) → 3×4
المعادلة الشاملة	$(m{\times}n)\times(n{\times}p)=(m{\times}p)$	n يُلغى في الوسط

٦ الخلاصة

— شرط الضرب: عدد أعمدة الأولى يساوي عدد صفوف الثانية.

— الأرقام الداخلية: تحقق من تساويها أولاً — إن تساوت أمكن الضرب.

— الأرقام الخارجية: خذها مباشرة لتحصل على أبعاد الناتج.

— المعادلة:

(m \times n) \times (n \times p) = (m \times p)

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

شروط ضرب المصفوفات

اختبر فهمك

حل بالخطوات

الشرح

شروط ضرب المصفوفات

دروس ذات صلة