حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

حل نظام المعادلات بالنظير الضربي

الرياضيات — المصفوفات

الشكل المصفوفي

AX = B

قاعدة الحل

X = A⁻¹ × B

المثال

x = 80 ، y = 20

١المفهوم والمنهجية العامة

— أي نظام معادلات خطي يمكن تحويله إلى الشكل المصفوفي AX = B.
— بدلاً من القسمة على A نضرب الطرفين في A⁻¹ من اليسار.

AX = B

X = A^{-1} \times B

Aمصفوفة المعاملات

Xمصفوفة المتغيرات المجهولة

Bمصفوفة النتائج (الحدود الحرة)

٢النظام المعطى

x + y = 100

1.5x + 1.45y = 149

٣الخطوة الأولى — الشكل المصفوفي

مصفوفة المعاملات A:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}

مصفوفتا X و B:

X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}

الشكل الكامل:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}

٤الخطوة الثانية — حساب A⁻¹

أولاً — المحددة:

\det(A) = (1)(1.45) - (1)(1.5)

= 1.45 - 1.5 = -0.05

ثانياً — تبديل القطر وتغيير الإشارات:

A^{-1} = \frac{1}{-0.05} \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.5 & 1 \end{bmatrix}

ثالثاً — توزيع القسمة:

A^{-1} = \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix}

A⁻¹ = [[ −29 ، 20 ] ، [ 30 ، −20 ]]

٥الخطوة الثالثة — X = A⁻¹ × B

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}

حساب x:

(-29)(100) + (20)(149)

= -2900 + 2980 = 80

حساب y:

(30)(100) + (-20)(149)

= 3000 - 2980 = 20

x = 80 ، y = 20

٦التحقق من صحة الحل

— نعوّض x = 80 و y = 20 في المعادلتين الأصليتين.

80 + 20 = 100 \quad \checkmark

1.5(80) + 1.45(20)

= 120 + 29 = 149 \quad \checkmark

كلتا المعادلتين محققتان ✓

٧ملخص الخطوات

الخطوة	العملية
١ — الشكل المصفوفي	استخراج A و X و B من النظام
٢ — حساب A⁻¹	المحددة ← التبديل والتغيير ← القسمة
٣ — الحل	X = A⁻¹ × B
٤ — التحقق	تعويض الحل في المعادلتين الأصليتين

٨الخلاصة

— الشكل المصفوفي: أي نظام معادلات يُكتب على شكل AX = B.
— قاعدة الحل: نضرب الطرفين في A⁻¹ من اليسار للحصول على X = A⁻¹B.
— شرط الحل: يجب أن تكون المحددة ≠ 0 حتى يوجد A⁻¹.
— الميزة: الطريقة تعمل مع أي حجم نظام، ليس فقط 2×2.
— التحقق دائماً ضروري: عوّض القيم في المعادلات الأصلية للتأكد.

حل أنظمة المعادلات بالنظير الضربي — مسائل محلولة

الرياضيات — المصفوفات

المسألة ١

x + y = 100

المسألة ٢

2x + 3y = 13

المسألة ٣

3x + 2y = 16

١حل النظام الأول

x + y = 100

1.5x + 1.45y = 149

الخطوة ١ — الشكل المصفوفي:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix}

الخطوة ٢ — المحددة:

\det(A) = (1)(1.45) - (1)(1.5)

= 1.45 - 1.5 = -0.05

الخطوة ٣ — النظير الضربي:

A^{-1} = \frac{1}{-0.05} \begin{bmatrix} 1.45 & -1 \\ -1.5 & 1 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix}

الخطوة ٤ — X = A⁻¹ × B:

x

(-29)(100) + (20)(149)

= -2900 + 2980 = 80

y

(30)(100) + (-20)(149)

= 3000 - 2980 = 20

— التحقق: 80 + 20 = 100 ✓ | 1.5(80) + 1.45(20) = 149 ✓

x = 80 ، y = 20

٢حل النظام الثاني

2x + 3y = 13

x - y = 1

الخطوة ١ — الشكل المصفوفي:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 13 \\ 1 \end{bmatrix}

الخطوة ٢ — المحددة:

\det(A) = (2)(-1) - (3)(1)

= -2 - 3 = -5

الخطوة ٣ — النظير الضربي:

A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0.2 & 0.6 \\ 0.2 & -0.4 \end{bmatrix}

الخطوة ٤ — X = A⁻¹ × B:

x

(0.2)(13) + (0.6)(1)

= 2.6 + 0.6 = 3.2

y

(0.2)(13) + (-0.4)(1)

= 2.6 - 0.4 = 2.2

— التحقق: 2(3.2) + 3(2.2) = 13 ✓ | 3.2 − 2.2 = 1 ✓

x = 3.2 ، y = 2.2

٣حل النظام الثالث

3x + 2y = 16

x + 4y = 18

الخطوة ١ — الشكل المصفوفي:

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 16 \\ 18 \end{bmatrix}

الخطوة ٢ — المحددة:

\det(A) = (3)(4) - (2)(1)

= 12 - 2 = 10

الخطوة ٣ — النظير الضربي:

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

الخطوة ٤ — X = A⁻¹ × B:

x

(0.4)(16) + (-0.2)(18)

= 6.4 - 3.6 = 2.8

y

(-0.1)(16) + (0.3)(18)

= -1.6 + 5.4 = 3.8

— التحقق: 3(2.8) + 2(3.8) = 16 ✓ | 2.8 + 4(3.8) = 18 ✓

x = 2.8 ، y = 3.8

٤ملخص الخطوات

الخطوة	العملية
١ — الشكل المصفوفي	استخراج A و X و B من النظام
٢ — المحددة	det(A) = ad − bc ، يجب أن ≠ 0
٣ — النظير الضربي	تبديل وتغيير ← القسمة على det(A)
٤ — الحل	X = A⁻¹ × B
٥ — التحقق	تعويض x و y في المعادلتين الأصليتين

٥الخلاصة

— المحددة السالبة: لا تمنع الحل — المهم أنها ≠ 0.
— قاعدة الحل الثابتة: X = A⁻¹ × B بغض النظر عن قيم المعاملات.
— الحسابات: قسّم دائماً على المحددة وتحقق من كل عنصر على حدة.
— التحقق إلزامي: عوّض النتيجة في المعادلتين الأصليتين وليس في المصفوفة.

1

حول النظام التالي إلى صيغة مصفوفية:

\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}

2

احسب محدد المصفوفة:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}

3

أوجد النظير الضربي للمصفوفة:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1.5 & 1.45 \end{bmatrix}

4

حل النظام باستخدام النظير الضربي:

\begin{cases} x + y = 100 \\ 1.5x + 1.45y = 149 \end{cases}

5

حل النظام التالي باستخدام النظير الضربي:

\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x - y = 1 \end{cases}

6

تحقق من صحة الحل للنظام:

\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 18 \end{cases}

إذا كان

x = 2، y = 5

أول ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

الثانوية

النظير الضربي للمصفوفات

الثانوية

قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين

الثانوية

قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات

الثانوية

دلالة المميز في المعادلات التربيعية و أنواع الحلول

الثانوية