ربط متطابقات ضعف الزاوية بمتطابقة فيثاغورس: cos 2θ بثلاث صور واستنتاج tan 2θ ومتى نستخدم متطابقات المجموع والفرق

الفكرة: نربط المتطابقات بدل الحفظ

من النقاط التي تساعدنا نتذكر المتطابقات المثلثية أن نربط متطابقات ضعف الزاوية بمتطابقة فيثاغورس. متطابقة فيثاغورس: cos²θ + sin²θ = 1.

cos 2θ بثلاث صور

لو رحنا إلى cos 2θ فهي عبارة عن cos²θ − sin²θ. لو استخدمنا متطابقة فيثاغورس واستبدلنا cos²θ بـ 1 − sin²θ يصير عندنا sin²θ مرتين، معناتها يساوي 1 − 2sin²θ.

نقدر أيضًا نشيل sin²θ ونضع بدلها 1 − cos²θ؛ السالب يغيّر الإشارات في القوس، وبعدين نعيد الترتيب فيظهر عندنا 2cos²θ − 1.

الهدف أن نسوي ربطًا بين المتطابقات عشان نتذكر القواعد، لأنها تحتاج إلى حفظ.

sin 2θ واستنتاج tan 2θ

لو رحنا إلى sin 2θ فتساوي 2 sin θ cos θ، سهل نحفظها.

الآن نستنتج tan 2θ. نعرف أن tan عبارة عن sin على cos، فتساوي sin 2θ على cos 2θ. بالنسبة لـ sin 2θ فعندنا 2 sin θ cos θ، أما بالنسبة لـ cos 2θ فنختار المتطابقة الأولى التي تساوي cos²θ − sin²θ.

بعد ذلك نقسم البسط والمقام على cos²θ. في البسط يختصر واحد من الـ cos ويبقى عندنا sin θ على cos θ والـ 2 موجودة، معناتها 2 tan θ. بالنسبة للمقام: cos²θ على cos²θ يصير 1، وsin²θ على cos²θ عبارة عن tan²θ.

فكذا استنتجنا المتطابقة: tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ). كما قلنا الهدف أن نربط ما بين المتطابقات ونستنتجها من بعض عشان نتذكرها.

متطابقات المجموع والفرق

أما بالنسبة لمتطابقات المجموع والفرق، فمتطابقات المجموع هي sin(a + b) وcos(a + b) وtan(a + b)، ومتطابقات الفرق sin(a − b) وcos(a − b) وtan(a − b). فالأفضل أن نحفظها، والأهم من حفظها أن نعرف متى نحتاجها ونستخدمها.

مثال: sin 105°

مثال بسيط: لو طُلب منا أن نطلع sin 105°، فنقدر نقول إن sin 105° هو عبارة عن sin(45° + 60°) لأن مجموعهما يساوي 105. فإحنا المفروض نكون حافظين sin وcos للزاويتين 45° و60° لأنهما زاويتان مميزتان ويتكرران كثيرًا. فبكذا نستخدم متطابقة مجموع الزاويتين: sin(45° + 60°) = sin a cos b + cos a sin b.

مثال: متى نستخدم متطابقة ضعف الزاوية

مثال أخير: متى نستخدم متطابقة ضعف الزاوية؟ لو قال لك أوجد sin 2θ علمًا بأن sin θ = 2/3 وθ في الربع الأول ما بين 0° و90°.

نعرف المتطابقة sin 2θ = 2 sin θ cos θ. sin θ عندنا، وهي 2/3، لكن ما عندنا cos θ. كيف نطلعها؟ نستخدم متطابقة فيثاغورس: cos²θ + sin²θ = 1، معناتها cos²θ = 1 − (2/3)² = 1 − 4/9، معناتها cos²θ = 5/9.

نأخذ الجذر التربيعي للطرفين فيطلع cos θ = ±√5/3. هنا نستفيد من المعطى أن θ ما بين 0° و90° عشان نأخذ القيمة الموجبة فقط، لأن في الربع الأول الـ cos يكون موجبًا.

الآن نقدر نطبق المتطابقة 2 sin θ cos θ: تطلع 2 × 2/3 × √5/3، ونبسّط فتطلع 4√5/9.