دوال كثيرات الحدود

دوال كثيرات الحدود

١ تعريف كثيرة الحدود بمتغير واحد

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

حيث n عدد صحيح غير سالب والمعاملات أعداد حقيقية والمعامل الرئيس aₙ ≠ 0

— تُكتب بالصيغة القياسية بترتيب الحدود تنازلياً حسب أسس المتغير.
— الدرجة هي أكبر أس للمتغير في الحدود.

كثيرة الحدود	النوع	الدرجة	المعامل الرئيس
12	ثابتة	0	12
4x − 9	خطية	1	4
5x² − 6x − 9	تربيعية	2	5
8x³ + 12x² − 3x + 1	تكعيبية	3	8

٢ مثال 1 — تحديد الدرجة والمعامل الرئيس

٣ سلوك طرفي التمثيل البياني

يصف سلوك الطرفين اتجاه الدالة عندما يتجه x نحو اللانهاية الموجبة أو السالبة. يتحدد بالدرجة وإشارة المعامل الرئيس.

درجة زوجية + موجب

↑↑ كلا الطرفين لأعلى

درجة زوجية + سالب

↓↓ كلا الطرفين لأسفل

درجة فردية + موجب

↓ يسار ، ↑ يمين

درجة فردية + سالب

↑ يسار ، ↓ يمين

x \to -\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty \quad \text{و} \quad x \to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty

مثال: درجة زوجية + معامل موجب

٤ استكشاف سلوك الطرفين — تفاعلي

درجة زوجية، معامل موجب — ↑↑ كلا الطرفين لأعلى

الدرجة n 2

المعامل a 1

٥ أصفار دوال كثيرات الحدود

— صفر الدالة هو قيمة x تجعل f(x) = 0، أي نقطة تقاطع الدالة مع محور x.
— كثيرة الحدود من الدرجة n لها على الأكثر n صفراً حقيقياً.

درجة فردية

عدد فردي من الأصفار الحقيقية دائماً

درجة زوجية

عدد زوجي من الأصفار أو لا أصفار حقيقية

٦ استكشاف أصفار كثيرة الحدود — تفاعلي

الدالة: f(x) = ax³ + bx + c — غيّر المعاملات وراقب الأصفار.

عدد الأصفار: —

a 1

b 0

c -1

٧ ملخص الدرس

المفهوم	القاعدة
كثيرة الحدود بمتغير واحد	جبرية aₙxⁿ+…+a₀ بمتغير واحد ومعاملات حقيقية
الدرجة	أكبر أس للمتغير بعد الترتيب القياسي
المعامل الرئيس	معامل الحد ذي أكبر أس ≠ 0
درجة زوجية	↑↑ أو ↓↓ (نفس الاتجاه)
درجة فردية	↓↑ أو ↑↓ (اتجاهان مختلفان)
أصفار الدالة	فردية: عدد فردي — زوجية: عدد زوجي أو لا أصفار

تمارين — دوال كثيرات الحدود

الرياضيات — الفصل الثالث، الدرس 3-5

الهدف: تطبيق مهارة إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود عند متغير، وتقييم تعبيرات من دالتين مختلفتين خطوة بخطوة.

١

إيجاد قيمة دالة كثيرة الحدود عند متغير

— إذا كانت الدالة:

f(x) = x^2 + 2x - 3

— أوجد قيمة:

f(3c-4) - 5f(c)

الجزء أ — إيجاد قيمة f(3c − 4)

— الخطوة ١ — الدالة الأصلية:

f(x) = x^2 + 2x - 3

— الخطوة ٢ — عوّض (3c − 4) بدلاً من x:

f(3c-4) = (3c-4)^2 + 2(3c-4) - 3

— الخطوة ٣ — اضرب (بسّط التربيع والضرب):

= 9c^2 - 24c + 16 + 6c - 8 - 3

— الخطوة ٤ — بسّط الحدود المتشابهة:

= 9c^2 - 18c + 5

f(3c − 4) = 9c² − 18c + 5

الجزء ب — إيجاد قيمة 5f(c)

— الخطوة ١ — الدالة الأصلية:

f(x) = x^2 + 2x - 3

— الخطوة ٢ — عوّض c بدلاً من x:

5f(c) = 5(c^2 + 2c - 3)

— الخطوة ٣ — طبّق خاصية التوزيع:

= 5c^2 + 10c - 15

5f(c) = 5c² + 10c − 15

الجزء ج — إيجاد f(3c − 4) − 5f(c)

— الخطوة ١ — عوّض النتيجتين:

f(3c-4) - 5f(c)

= (9c^2 - 18c + 5) - (5c^2 + 10c - 15)

— الخطوة ٢ — طبّق خاصية التوزيع (افتح القوس بإشارة سالبة):

= 9c^2 - 18c + 5 - 5c^2 - 10c + 15

— الخطوة ٣ — بسّط الحدود المتشابهة:

= 4c^2 - 28c + 20

f(3c − 4) − 5f(c) = 4c² − 28c + 20

٢

إيجاد قيم دالة عند قيم عددية — w(5) و w(−4)

— إذا كانت الدالة:

w(x) = -2x^3 + 3x - 12

— أوجد قيمتَي w(5) و w(−4).

الجزء أ — إيجاد w(5)

— الخطوة ١ — عوّض x = 5:

w(5) = -2(5)^3 + 3(5) - 12

— الخطوة ٢ — احسب القوى:

= -2(125) + 15 - 12

— الخطوة ٣ — بسّط:

= -250 + 15 - 12

w(5) = −247

الجزء ب — إيجاد w(−4)

— الخطوة ١ — عوّض x = −4:

w(-4) = -2(-4)^3 + 3(-4) - 12

— الخطوة ٢ — احسب القوى:

= -2(-64) - 12 - 12

— الخطوة ٣ — بسّط:

= 128 - 12 - 12

w(−4) = 104

٣

تقييم تعبيرات من دالتين — c(x) و d(x)

— إذا كانت الدالتان:

c(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2

d(x) = 3x^2 + 6x - 10

— أوجد قيمة:

6c(4a) + 2d(3a-5)

الجزء أ — إيجاد 6c(4a)

— الخطوة ١ — عوّض 4a بدلاً من x في c(x):

c(4a) = 4(4a)^3 - 5(4a)^2 + 2

— الخطوة ٢ — احسب القوى:

= 4(64a^3) - 5(16a^2) + 2

= 256a^3 - 80a^2 + 2

— الخطوة ٣ — اضرب النتيجة في 6:

6c(4a) = 6(256a^3 - 80a^2 + 2)

= 1536a^3 - 480a^2 + 12

6c(4a) = 1536a³ − 480a² + 12

الجزء ب — إيجاد 2d(3a − 5)

— الخطوة ١ — عوّض (3a − 5) بدلاً من x في d(x):

d(3a-5) = 3(3a-5)^2 + 6(3a-5) - 10

— الخطوة ٢ — بسّط التربيع والضرب:

= 3(9a^2 - 30a + 25) + 18a - 30 - 10

= 27a^2 - 90a + 75 + 18a - 40

= 27a^2 - 72a + 35

— الخطوة ٣ — اضرب النتيجة في 2:

2d(3a-5) = 2(27a^2 - 72a + 35)

= 54a^2 - 144a + 70

2d(3a − 5) = 54a² − 144a + 70

الجزء ج — إيجاد 6c(4a) + 2d(3a − 5)

— الخطوة ١ — اجمع النتيجتين:

= (1536a^3 - 480a^2 + 12)

+ (54a^2 - 144a + 70)

— الخطوة ٢ — اجمع الحدود المتشابهة:

= 1536a^3 - 426a^2 - 144a + 82

= 1536a³ − 426a² − 144a + 82

الخلاصة

— لإيجاد f(a): عوّض a بدلاً من x في كل حدود الدالة.

— لإيجاد k·f(a): أوجد f(a) أولاً ثم اضرب الناتج في k.

— لإيجاد f(a) ± g(b): احسب كلاً منهما منفردًا ثم اجمع أو اطرح.

— طبّق خاصية التوزيع عند فتح الأقواس، وانتبه لإشارة الطرح.

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

قسمة كثيرات الحدود

الثانوية

العمليات على كثيرات الحدود

الثانوية

حل معادلات كثيرات الحدود

الثانوية

معنى الدالة: الدوال المتباينة

الثانوية

دوال خاصة: دالة أكبر عدد صحيح ودالة القيمة المطلقة و الدالة متعددة التعريف

الثانوية