التكامل والتفاضل لدوال كثيرات الحدود

تكامل كثيرات الحدود

تكامل كثيرات الحدود يعتمد على قاعدة بسيطة.

إذا كانت لدينا الدالة:

**xⁿ**

فنقوم بالخطوات التالية:

- نزيد الأس بمقدار واحد. - نقسم على الأس الجديد. - نضيف ثابت التكامل **C**.

أي أن:

**∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C**

أمثلة على التكامل

تكامل:

**x**

يساوي:

**x² / 2 + C**

وتكامل:

**x³**

يساوي:

**x⁴ / 4 + C**

وتكامل:

**x⁵**

يساوي:

**x⁶ / 6 + C**

تكامل العدد الثابت

إذا كان لدينا عدد ثابت مثل:

**3**

فيمكن اعتباره:

**3x⁰**

ثم نطبق نفس القاعدة.

فتكامل:

**3**

يساوي:

**3x + C**

وذلك لأن:

**x⁰ = 1**

وأي عدد مرفوع للأس صفر يساوي واحد.

تكامل الأسس الكسرية

إذا كان الأس كسراً، فإن القاعدة لا تتغير.

فمثلاً:

**∫ x¹ᐟ² dx**

نزيد الأس واحداً:

**1/2 + 1 = 3/2**

ثم نقسم على الأس الجديد:

**x³ᐟ² / (3/2) + C**

ويمكن تبسيط الناتج إلى:

**(2/3)x³ᐟ² + C**

اشتقاق كثيرات الحدود

الاشتقاق أسهل من التكامل، ويعتمد على قاعدة واحدة.

إذا كانت لدينا الدالة:

**xⁿ**

فنقوم بما يلي:

- ننقل الأس إلى معامل ضرب. - ننقص قيمة الأس واحداً.

أي أن:

**d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹**

أمثلة على الاشتقاق

اشتقاق:

**x²**

يساوي:

**2x**

واشتقاق:

**x³**

يساوي:

**3x²**

واشتقاق:

**x⁶**

يساوي:

**6x⁵**

اشتقاق العدد الثابت

إذا كان لدينا عدد ثابت مثل:

**5**

فنعتبره:

**5x⁰**

وعند الاشتقاق يصبح الأس صفراً معامل ضرب:

**0 × 5x⁻¹ = 0**

ولذلك فإن:

**مشتقة أي عدد ثابت تساوي صفراً.**

لماذا مشتقة الثابت تساوي صفراً؟

لأن الاشتقاق يمثل **معدل التغير**.

والدالة الثابتة لا تتغير مهما تغيرت قيمة **x**، لذلك يكون معدل تغيرها صفراً.

الخلاصة

لحساب تكامل كثيرات الحدود:

- زد الأس واحداً. - اقسم على الأس الجديد. - أضف ثابت التكامل **C**.

ولحساب مشتقة كثيرات الحدود:

- انقل الأس إلى معامل. - أنقص الأس واحداً.

أما العدد الثابت، فتكامله يساوي العدد مضروباً في **x** مع إضافة **C**، بينما مشتقته تساوي **صفر** لأنه لا يتغير.