النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
① نجد تكامل :
① نجد تكامل :
| الدالة | النطاق | التكامل | المساحة | |
|---|---|---|---|---|
| من 3 إلى 7 | 20 | |||
| من 1 إلى 3 | 20 |
اختبار: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
1 / 10مفهوم التكامل
لفهم التكامل بشكل عميق، يمكن النظر إليه على أنه **عملية تراكم للمساحات** تحت منحنى الدالة.
فكلما تحركنا على محور <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، نقوم بجمع المساحات تدريجياً، ويكون الناتج دالة جديدة تمثل مجموع هذه المساحات.
المثال الأول: الدالة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=1" data-tex="f(x)=1" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.447ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3733.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></span>
لنفترض أن الدالة:
**f(x) = 1**
ويمثلها خط أفقي مستقيم.
إذا بدأنا من الصفر وتحركنا إلى اليمين وحدة واحدة، فإن المساحة المتراكمة تساوي:
**1 × 1 = 1**
وعند الانتقال إلى الوحدة الثانية نضيف مساحة جديدة مقدارها واحد، فتصبح المساحة المتراكمة:
**2**
وعند الوحدة الثالثة تصبح:
**3**
ثم:
- عند الرابعة تصبح **4**. - عند الخامسة تصبح **5**.
وهكذا نلاحظ أن المساحة المتراكمة تزداد بمقدار ثابت في كل خطوة.
شكل دالة المساحات المتراكمة
عند رسم قيم المساحات المتراكمة نحصل على خط مستقيم مائل يبدأ من نقطة الأصل.
وهذا يتطابق تماماً مع ناتج التكامل.
فبما أن:
**∫ 1 dx = x + C**
فإن الدالة الناتجة هي:
**y = x**
وهي نفس منحنى تراكم المساحات.
المثال الثاني: الدالة <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="f(x)=x" data-tex="f(x)=x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.61ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3805.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJXG-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJXG-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3233.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>
لنفترض الآن أن الدالة الأصلية هي:
**f(x) = x**
وتمثل بخط مستقيم يزداد تدريجياً.
إذا بدأنا بحساب المساحات المتراكمة، فإن أول مساحة تكون صغيرة، لأنها تمثل مثلثاً صغيراً.
وعندما ننتقل إلى الخطوة التالية، تصبح المساحة المضافة أكبر من السابقة.
ثم في كل خطوة جديدة، تزداد المساحة المضافة أكثر فأكثر.
لماذا لا نحصل على خط مستقيم؟
في المثال الأول كنا نضيف في كل مرة مساحة ثابتة، ولذلك كانت دالة المساحات المتراكمة خطاً مستقيماً.
أما هنا، فالمساحات المضافة تكبر باستمرار، ولذلك فإن دالة المساحات المتراكمة لا تكون خطاً مستقيماً، بل تصبح منحنى يتزايد بشكل أسرع مع ازدياد <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.
وهذا هو السبب في ظهور الدالة التربيعية.
ناتج التكامل
عند إجراء التكامل للدالة:
**f(x) = x**
نحصل على:
**∫ x dx = x²/2 + C**
وعند رسم هذه الدالة نجد أنها تمثل تماماً منحنى تراكم المساحات تحت الخط المستقيم <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="y=x" data-tex="y=x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.42ex" height="1.783ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2395.6 788" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>.
الخلاصة
التكامل لا يمثل مجرد قانون رياضي، بل يعبر عن **تراكم المساحات** تحت منحنى الدالة.
- إذا كانت الدالة ثابتة، فإن المساحات تتراكم بمعدل ثابت، فينتج خط مستقيم. - وإذا كانت الدالة تزداد مع <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="x" data-tex="x" style="display:inline-block;vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJXG-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></span>، فإن المساحات تتراكم بسرعة أكبر، فينتج منحنى تربيعي.
ولهذا فإن الهدف الأساسي من التكامل هو حساب **المساحة المتراكمة تحت منحنى الدالة**.
عن هذا الدرس
التكامل المحدد ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) هو المساحة تحت المنحنى بين a و b، خطوات الحل الأربع، ولماذا يختفي الثابت C، مع مثالي f(x)=x من 3 إلى 7 و f(x)=x³… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.