الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات
اختبر فهمك
جاري تحميل التمرين...
أسئلة متوقعة
تمارين محلولة: الضرب القياسي والاتجاهي (المفاهيم)
تطبيقات عملية على اختيار نوع الضرب المناسب
الشغل المبذول في دفع صندوق
السؤال:
تريد دفع صندوق على أرض مستوية. لديك قوة معينة يمكنك تطبيقها.
السؤال: أي نوع من الضرب يستخدم لحساب الشغل المبذول؟ ولماذا؟
إضافي: في أي اتجاه يجب أن تدفع للحصول على أكبر شغل مبذول؟
رسم توضيحي
الحل:
الخطوة 1: تحديد المطلوب
الخطوة 2: التحليل المفاهيمي
• إذا دفعنا الصندوق في اتجاه الحركة (موازي) → شغل كبير ✓
• إذا دفعنا الصندوق عمودياً على الحركة (جانبياً) → لا شغل ✗
النتيجة: أفضل شغل عندما تكون القوة موازية للإزاحة
الخطوة 3: تطبيق القاعدة الذهبية
الإجابة: نستخدم الضرب القياسي لأن أفضل نتيجة عند التوازي
القوة المغناطيسية على سلك يحمل تياراً
السؤال:
سلك يحمل تياراً كهربائياً موضوع في مجال مغناطيسي.
السؤال: أي نوع من الضرب يستخدم لحساب القوة المغناطيسية المؤثرة على السلك؟
إضافي: في أي وضع نحصل على أقصى قوة مغناطيسية؟
رسم توضيحي
الحل:
الخطوة 1: تحديد المعطيات
الخطوة 2: التحليل المفاهيمي
• إذا كان السلك موازياً للمجال المغناطيسي → لا قوة ✗
• إذا كان السلك عمودياً على المجال المغناطيسي → قوة عظمى ✓
النتيجة: أفضل قوة عندما يكون التيار عمودياً على المجال
الخطوة 3: تطبيق القاعدة الذهبية
الإجابة: نستخدم الضرب الاتجاهي لأن أفضل نتيجة عند التعامد
عزم الدوران في فتح باب
السؤال:
تريد فتح باب بدفع المقبض. لديك قوة معينة يمكنك تطبيقها.
السؤال: أي نوع من الضرب يستخدم لحساب عزم الدوران (Torque)؟
إضافي: في أي اتجاه يجب أن تدفع المقبض للحصول على أكبر عزم دوران؟
رسم توضيحي (نظرة من الأعلى)
الحل:
الخطوة 1: تحديد المعطيات
الخطوة 2: التحليل المفاهيمي
• إذا دفعنا باتجاه المفصل (موازي للباب) → لا يفتح ✗
• إذا دفعنا عمودياً على الباب → يفتح بسهولة ✓
النتيجة: أفضل عزم دوران عندما تكون القوة عمودية على نصف القطر
الخطوة 3: تطبيق القاعدة الذهبية
الإجابة: نستخدم الضرب الاتجاهي لأن أفضل نتيجة عند التعامد
ملخص التطبيقات
الشغل المبذول
W = F · d
أفضل نتيجة: التوازي
ضرب قياسي
القوة المغناطيسية
F = I × B
أفضل نتيجة: التعامد
ضرب اتجاهي
عزم الدوران
τ = r × F
أفضل نتيجة: التعامد
ضرب اتجاهي
القاعدة الذهبية لاختيار نوع الضرب
• أفضل نتيجة عند التوازي
• الناتج: عدد (scalar)
• أمثلة: الشغل، القدرة
• مثال عملي: دفع سيارة
• أفضل نتيجة عند التعامد
• الناتج: متجه (vector)
• أمثلة: القوة المغناطيسية، عزم الدوران
• مثال عملي: فتح باب
الشرح
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات
الموضوع: مفهوم الضرب الداخلي (Dot Product) والضرب الاتجاهي (Cross Product) للمتجهات
المفاهيم: الضرب الداخلي، الضرب الاتجاهي، التوازي، التعامد، تطبيقات فيزيائية
الهدف: فهم متى نستخدم الضرب الداخلي ومتى نستخدم الضرب الاتجاهي والفرق بينهما
المقدمة
المبدأ الأول: الضرب الداخلي (Dot Product)
ما معنى الضرب الداخلي؟ ومتى نستخدمه؟
المبدأ الثاني: الضرب الاتجاهي (Cross Product)
ما معنى الضرب الاتجاهي؟ ومتى نستخدمه؟
1 الضرب الداخلي (Dot Product)
نستخدم الضرب الداخلي عندما يكون التوازي يعطينا أعلى نتيجة
• كلما كانت المتجهات متوازية → نتيجة أعلى
• كلما كانت الزاوية أكبر → نتيجة أقل
• عند زاوية 90° → النتيجة = صفر
عندنا الآن متجهين راح نركز عليهم:
• المتجه الأول: المسار المطلوب
• المتجه الثاني: قوة الدفع
كلما كان المسار المطلوب وقوة الدفع متوازيين، كلما سهلت علينا المهمة
وكلما غيرنا الزاوية بينهم، كلما صعبت عملية الدفع
إلى أن نوصل (بالمبالغة) إلى زاوية 90° كأننا ندفع السيارة للأسفل - فما احنا قاعدين نسوي أي تقدم!
نقطة بين المتجهين
2 الضرب الاتجاهي (Cross Product)
في الضرب الاتجاهي: التعامد يعطينا أعلى نتيجة
• عند زاوية 90° (متعامد) → أعلى نتيجة
• كلما كانت الزاوية أقل → نتيجة أقل
• عند التوازي → النتيجة = صفر
عندنا متجهين:
• المتجه الأول: قوة الدفع
• المتجه الثاني: مستوى الباب
كلما كانت القوة متعامدة على الباب، كلما سهل علينا دفع الباب
أما إذا كانت القوة موازية للباب (للأعلى أو للأسفل)، فما نقدر ندفعه!
التيار الكهربائي والمجال المغناطيسي:
كلما كانوا متعامدين، نحصل على أعلى قوة
القوة المغناطيسية تكون أكبر ما يمكن عندما يكون التيار متعامداً مع المجال المغناطيسي
(هذا ضرب اتجاهي!)
علامة ضرب × بين المتجهين
3 المقارنة بين الضرب الداخلي والاتجاهي
أعلى نتيجة:
عند التوازي (0°)
أقل نتيجة:
عند التعامد (90°) = صفر
مثال:
دفع السيارة
أعلى نتيجة:
عند التعامد (90°)
أقل نتيجة:
عند التوازي = صفر
مثال:
دفع الباب
→ فإحنا في عالم الضرب الداخلي
→ فإحنا في عالم الضرب الاتجاهي
4 ملخص الرموز
الضرب الداخلي
A · B
Dot Product
الضرب الاتجاهي
A × B
Cross Product
الملخص النهائي
النقاط الأساسية
• التوازي = أعلى نتيجة
• التعامد (90°) = صفر
• مثال: دفع السيارة
• التعامد (90°) = أعلى نتيجة
• التوازي = صفر
• مثال: دفع الباب، التيار والمجال المغناطيسي
• اسأل نفسك: متى النتيجة أعلى؟
• إذا عند التوازي → ضرب داخلي
• إذا عند التعامد → ضرب اتجاهي