نظرية ديموافر

ما هي نظرية ديموافر؟

نظرية ديموافر (De Moivre's Theorem) هي نتيجة مباشرة لقانون ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية.

فإذا كنت تعرف كيف تضرب الأعداد المركبة بالصورة القطبية، فإن نظرية ديموافر ستكون تطبيقاً مباشراً لهذه العملية.

الصورة القطبية للعدد المركب

قبل استخدام نظرية ديموافر، يجب أن نتذكر الصورة القطبية للعدد المركب، وهي:

**Z = r (cosθ + i sinθ)**

حيث:

- **r** تمثل مقدار العدد المركب. - **θ** تمثل الزاوية. - **i** هي الوحدة التخيلية.

مراجعة ضرب الأعداد المركبة

إذا كان لدينا عددان مركبان:

**Z₁ = r₁(cosθ₁ + i sinθ₁)**

**Z₂ = r₂(cosθ₂ + i sinθ₂)**

فإن حاصل ضربهما يكون:

- نضرب المقدارين **r₁ × r₂**. - نجمع الزاويتين **θ₁ + θ₂**.

أي يصبح الناتج:

**Z₁Z₂ = r₁r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]**

كيف تظهر نظرية ديموافر؟

إذا ضربنا العدد المركب في نفسه أكثر من مرة، فإن:

- المقدار **r** يتكرر في الضرب، فيصبح **rⁿ**. - الزاوية **θ** تتكرر في الجمع، فتصبح **nθ**.

ومن هنا نحصل على نظرية ديموافر:

**Zⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))**

وهذه هي الصيغة العامة للنظرية.

مثال

إذا كان لدينا:

**Z = 8(cos(π/3) + i sin(π/3))**

والمطلوب إيجاد:

**Z⁶**

فنطبق نظرية ديموافر مباشرة:

**Z⁶ = 8⁶ [cos(6π/3) + i sin(6π/3)]**

نبسط الزاوية:

**6π/3 = 2π**

فتصبح:

**Z⁶ = 8⁶ [cos(2π) + i sin(2π)]**

تبسيط الناتج

نعلم من الدوال المثلثية أن:

**cos(2π) = 1**

**sin(2π) = 0**

لذلك يختفي الجزء التخيلي، ويصبح الناتج:

**Z⁶ = 8⁶**

وبحساب القوة:

**8⁶ = 262144**

إذن الناتج النهائي هو:

**262144**

وهو عدد حقيقي بالكامل، ولا يحتوي على أي جزء تخيلي.

الخلاصة

نظرية ديموافر هي تعميم لعملية ضرب الأعداد المركبة في الصورة القطبية.

فعند رفع عدد مركب إلى قوة **n**:

- نرفع المقدار **r** إلى القوة **n**. - نضرب الزاوية **θ** في **n**.

أي:

**Zⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))**

وتعد هذه النظرية من أهم الأدوات في الأعداد المركبة، لأنها تسهّل إيجاد القوى والجذور للأعداد المركبة بطريقة مباشرة.