حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

حساب الضرب الداخلي والزاوية بين متجهين

الموضوع: العمليات الحسابية على المتجهات

المفاهيم: الضرب الداخلي (الضرب القياسي)، حساب الزاوية بين متجهين، طول المتجه

الهدف: تعلم كيفية حساب نتيجة الضرب الداخلي بين متجهين وإيجاد الزاوية بينهما

المقدمة

الضرب الداخلي عملية رياضية بين متجهين تعطي عدداً (وليس متجهاً)

في هذا الدرس سنتعلم نقطتين مهمتين عن الضرب الداخلي (الضرب القياسي):

النقطة الأولى: كيف نحسب نتيجة الضرب الداخلي لمتجهين ونحل أمثلة عليه

النقطة الثانية: كيف نستخدم الضرب الداخلي لإيجاد الزاوية بين المتجهين

ملاحظة مهمة:
• الضرب الداخلي ( $\cdot$ ): النتيجة دائماً عدد (scalar)
• الضرب الاتجاهي ( $\times$ ): النتيجة دائماً متجه (vector)

الضرب الداخلي بين متجهين يعطي عدداً نستخدمه لحساب الزاوية بينهما

1 كيفية حساب الضرب الداخلي

نضرب إحداثيات x مع بعض، ثم نجمع مع ضرب إحداثيات y

1

القاعدة الأساسية

لحساب الضرب الداخلي بين متجهين:

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle = (x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)

الخطوات:
• الخطوة 1: نضرب إحداثي x الأول في إحداثي x الثاني
• الخطوة 2: نضع علامة الزائد (+)
• الخطوة 3: نضرب إحداثي y الأول في إحداثي y الثاني
• الخطوة 4: نجمع النتيجتين → النتيجة النهائية عدد

2

مثال (1): حساب الضرب الداخلي

المعطى: المتجه الأول

\langle 1, 3 \rangle

والمتجه الثاني

\langle -2, -6 \rangle

المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

الخطوة 1: نضرب إحداثيات x معاً:

1 \times (-2) = -2

الخطوة 2: نضرب إحداثيات y معاً:

3 \times (-6) = -18

الخطوة 3: نجمع النتيجتين:

-2 + (-18) = -20

النتيجة النهائية: $\langle 1, 3 \rangle \cdot \langle -2, -6 \rangle = -20$

3

مثال (2): حساب الضرب الداخلي

المعطى: المتجه الأول

\langle 3, 4 \rangle

والمتجه الثاني

\langle 2, -1 \rangle

المطلوب: حساب الضرب الداخلي بينهما

الحل:

\langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = (3 \times 2) + (4 \times -1)

= 6 + (-4) = 6 - 4 = 2

النتيجة النهائية: $\langle 3, 4 \rangle \cdot \langle 2, -1 \rangle = 2$

النتيجة: الضرب الداخلي بين متجهين يعطي دائماً عدداً (scalar) وليس متجهاً

2 إيجاد الزاوية بين متجهين

نستخدم قانون الجيب التمام (cos) مع الضرب الداخلي وطول المتجهات

1

القانون الأساسي

لإيجاد الزاوية

\theta

بين متجهين A و B:

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}

حيث:
•

A \cdot B

= نتيجة الضرب الداخلي بين المتجهين
•

|A|

= طول المتجه A
•

|B|

= طول المتجه B
•

\theta

= الزاوية بين المتجهين

2

كيفية حساب طول المتجه

بما أن المتجه في الصورة الإحداثية يبدأ من نقطة الأصل

(0, 0)

:

|\langle x, y \rangle| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}

مثال: لحساب طول المتجه

\langle 3, 4 \rangle

:

|\langle 3, 4 \rangle| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

3

مثال كامل: إيجاد الزاوية بين متجهين

المعطى: المتجه

A = \langle 3, 4 \rangle

والمتجه

B = \langle 2, -1 \rangle

المطلوب: إيجاد الزاوية

\theta

بين المتجهين

الخطوة 1: حساب الضرب الداخلي
(من المثال السابق)

A \cdot B = 2

الخطوة 2: حساب طول المتجه A

|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

الخطوة 3: حساب طول المتجه B

|B| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236

الخطوة 4: تطبيق القانون

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|}

\cos \theta = \frac{2}{5 \times \sqrt{5}}

\cos \theta = \frac{2}{5 \times 2.236} \approx \frac{2}{11.18} \approx 0.178

الخطوة 5: حساب الزاوية
نأخذ معكوس الجيب التمام (

\cos^{-1}

)

\theta = \cos^{-1}(0.178) \approx 80°

النتيجة النهائية: الزاوية بين المتجهين $\approx 80°$

النتيجة: نستخدم الضرب الداخلي وأطوال المتجهات لإيجاد الزاوية بينهما

الملخص النهائي

حساب الضرب الداخلي

\langle x_1, y_1 \rangle \cdot \langle x_2, y_2 \rangle

↓

(x_1 \times x_2) + (y_1 \times y_2)

↓
النتيجة: عدد

حساب طول المتجه

|\langle x, y \rangle|

↓

\sqrt{x^2 + y^2}

↓
النتيجة: عدد موجب

حساب الزاوية

\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A||B|}

↓

\theta = \cos^{-1}(...)

↓
النتيجة: زاوية بالدرجات

تمارين محلولة - الضرب الداخلي للمتجهات

ثلاث مسائل محلولة بالتفصيل لفهم الضرب الداخلي وتطبيقاته

1

حساب الضرب الداخلي لمتجهين

السؤال:

احسب الضرب الداخلي للمتجهين التاليين:

\vec{A} = \langle 5, 2 \rangle

\vec{B} = \langle 3, -4 \rangle

المطلوب: إيجاد

\vec{A} \cdot \vec{B}

رسم المتجهات على المستوى الإحداثي

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• المتجه الأول:

\vec{A} = \langle 5, 2 \rangle

• المتجه الثاني:

\vec{B} = \langle 3, -4 \rangle

• المطلوب:

\vec{A} \cdot \vec{B} = ?

الخطوة 2: استخدام قانون الضرب الداخلي

للمتجهين

\vec{A} = \langle a_1, a_2 \rangle

و

\vec{B} = \langle b_1, b_2 \rangle

\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2

الخطوة 3: التعويض في القانون

\vec{A} \cdot \vec{B} = (5)(3) + (2)(-4)

\vec{A} \cdot \vec{B} = 15 + (-8)

\vec{A} \cdot \vec{B} = 7

الإجابة النهائية:

\vec{A} \cdot \vec{B} = 7

ملاحظة مهمة:

نتيجة الضرب الداخلي هي عدد وليست متجهاً، وقد تكون موجبة أو سالبة أو صفر.

2

حساب مقدار المتجه (الطول)

السؤال:

احسب مقدار (طول) كل من المتجهات التالية:

\vec{A} = \langle 6, 8 \rangle

\vec{B} = \langle 5, 12 \rangle

\vec{C} = \langle -3, 4 \rangle

المطلوب: إيجاد

|\vec{A}|

،

|\vec{B}|

، و

|\vec{C}|

رسم المتجهات الثلاثة

الحل:

الخطوة 1: قانون حساب مقدار المتجه

لأي متجه

\vec{V} = \langle v_1, v_2 \rangle

، مقدار المتجه هو:

|\vec{V}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}

أو باستخدام الضرب الداخلي:

|\vec{V}| = \sqrt{\vec{V} \cdot \vec{V}}

الخطوة 2: حساب مقدار المتجه A

|\vec{A}| = \sqrt{6^2 + 8^2}

|\vec{A}| = \sqrt{36 + 64}

|\vec{A}| = \sqrt{100}

|\vec{A}| = 10

الخطوة 3: حساب مقدار المتجه B

|\vec{B}| = \sqrt{5^2 + 12^2}

|\vec{B}| = \sqrt{25 + 144}

|\vec{B}| = \sqrt{169}

|\vec{B}| = 13

الخطوة 4: حساب مقدار المتجه C

|\vec{C}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2}

|\vec{C}| = \sqrt{9 + 16}

|\vec{C}| = \sqrt{25}

|\vec{C}| = 5

الإجابة النهائية:

|\vec{A}| = 10

،

|\vec{B}| = 13

،

|\vec{C}| = 5

ملاحظة:

المتجهات الثلاثة تشكل مثلثات قائمة فيثاغورية مشهورة: (6، 8، 10) و (5، 12، 13) و (3، 4، 5).

3

إيجاد الزاوية بين متجهين

السؤال:

أوجد الزاوية بين المتجهين التاليين:

\vec{A} = \langle 4, 3 \rangle

\vec{B} = \langle 1, 2 \rangle

المطلوب: إيجاد الزاوية

\theta

بين المتجهين

رسم المتجهات والزاوية بينهما

الحل:

الخطوة 1: قانون الزاوية بين متجهين

للعثور على الزاوية

\theta

بين متجهين، نستخدم:

\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|}

الخطوة 2: حساب الضرب الداخلي

\vec{A} \cdot \vec{B} = (4)(1) + (3)(2)

\vec{A} \cdot \vec{B} = 4 + 6 = 10

الخطوة 3: حساب مقدار المتجهين

|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

الخطوة 4: التعويض في قانون الزاوية

\cos(\theta) = \frac{10}{5 \cdot \sqrt{5}}

\cos(\theta) = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

\cos(\theta) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.894

الخطوة 5: حساب الزاوية

\theta = \cos^{-1}(0.894)

\theta \approx 26.57°

الإجابة النهائية:

\theta \approx 26.57°

أو

\theta \approx 0.464

راديان

ملاحظات مهمة:

• إذا كان

\vec{A} \cdot \vec{B} > 0

، الزاوية حادة (أقل من 90°)
• إذا كان

\vec{A} \cdot \vec{B} = 0

، الزاوية قائمة (المتجهان متعامدان)
• إذا كان

\vec{A} \cdot \vec{B} < 0

، الزاوية منفرجة (أكبر من 90°)

ملخص القوانين المستخدمة

الضرب الداخلي

\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2

المسألة 1

مقدار المتجه

|\vec{V}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}

المسألة 2

الزاوية بين متجهين

\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}

المسألة 3

نصائح مهمة للضرب الداخلي

• الضرب الداخلي ينتج عنه عدد وليس متجه

• استخدم الضرب الداخلي لحساب الزوايا بين المتجهات

• مقدار المتجه دائماً قيمة موجبة أو صفر

• إذا كان

\vec{A} \cdot \vec{B} = 0

، المتجهان متعامدان

• تحقق من الإشارات السالبة في الإحداثيات بعناية

•

|\vec{V}|^2 = \vec{V} \cdot \vec{V}

طريقة سريعة لحساب المربع

الضرب الداخلي بين المتجهات (Dot Product)

في هذا الدرس سنتعلم مفهومين مهمين في الضرب الداخلي بين المتجهات.

المفهوم الأول هو كيفية حساب الضرب الداخلي بين متجهين.

أما المفهوم الثاني فهو كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين باستخدام نتيجة الضرب الداخلي.

كيفية حساب الضرب الداخلي

لحساب الضرب الداخلي بين متجهين بالصورة الإحداثية، نضرب الإحداثي السيني في الإحداثي السيني المناظر له، ثم نضرب الإحداثي الصادي في الإحداثي الصادي المناظر له، وبعد ذلك نجمع الناتجين.

أي أن:

الضرب الداخلي = (x₁ × x₂) + (y₁ × y₂)

المثال الأول

إذا كان لدينا المتجه:

⟨1 ، 3⟩

والمتجه الثاني:

⟨-2 ، -6⟩

فنحسب الضرب الداخلي كالتالي:

1 × (-2) = -2

3 × (-6) = -18

ثم نجمع الناتجين:

-2 + (-18) = -20

إذن ناتج الضرب الداخلي يساوي:

-20

ملاحظة مهمة

على عكس الضرب الاتجاهي، فإن ناتج الضرب الداخلي يكون عدداً فقط، وليس متجهاً.

وهذه من أهم خصائص الضرب الداخلي.

المثال الثاني

إذا كان لدينا المتجهان:

⟨3 ، 4⟩

و

⟨2 ، -1⟩

فنحسب الضرب الداخلي:

3 × 2 = 6

4 × (-1) = -4

ثم نجمع الناتجين:

6 - 4 = 2

إذن ناتج الضرب الداخلي يساوي:

2

إيجاد الزاوية بين متجهين

إذا عرفنا الضرب الداخلي بين متجهين، فيمكننا إيجاد الزاوية بينهما باستخدام العلاقة:

cos(θ) = (A · B) ÷ (|A| × |B|)

حيث:

- A · B هو ناتج الضرب الداخلي. - |A| هو طول المتجه الأول. - |B| هو طول المتجه الثاني.

حساب طول المتجه

إذا كان المتجه بالصورة الإحداثية ويبدأ من نقطة الأصل، فإن طوله يحسب من العلاقة:

|A| = √(x² + y²)

مثال حساب الأطوال

للمتجه:

⟨3 ، 4⟩

الطول يساوي:

√(3² + 4²)

= √(9 + 16)

= √25

= 5

أما المتجه:

⟨2 ، -1⟩

فطوله يساوي:

√(2² + (-1)²)

= √(4 + 1)

= √5

حساب الزاوية

بعد أن عرفنا:

- الضرب الداخلي = 2 - طول المتجه الأول = 5 - طول المتجه الثاني = √5

نعوض في القانون:

cos(θ) = 2 ÷ (5 × √5)

≈ 0.178

ثم نأخذ معكوس دالة جيب التمام (Cos⁻¹):

θ ≈ 80°

الخلاصة

لحساب الضرب الداخلي نضرب الإحداثيات المناظرة ثم نجمع النتائج، ويكون الناتج دائماً عدداً.

أما لإيجاد الزاوية بين متجهين، فنستخدم قانون جيب التمام الذي يعتمد على الضرب الداخلي وطول كل متجه.

ثالث ثانوي الفصل الثاني

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

الضرب الداخلي بين المتجهات (Dot Product) في هذا الدرس سنتعلم مفهومين مهمين في الضرب الداخلي بين المتجهات. المفهوم الأول هو كيفية حساب الضرب الداخلي بين… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية ثالث ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات

الثانوية

قاعدة اليد اليمنى و علاقتها بالضرب الاتجاهي

الثانوية

مفهوم الضرب الاتجاهي

الثانوية

المتجهات وتحديد الاتجاه

الثانوية

المحصلة ومركبات المتجهات

الثانوية