طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3

محددة المصفوفة 3×3

+ − +

نمط الإشارات

2×2

المحددة المساعدة

رقم واحد

الناتج النهائي

١ التعريف والرمز

— محددة المصفوفة 3×3 تُرمز بـ $\det(A)$ أو بوضع الأرقام بين خطين عموديين.

— تُحوَّل إلى مجموع ثلاث محددات 2×2 عبر التطوير بحسب الصف الأول.

\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

المحددة 3×3 = مجموع (عنصر × محددة 2×2 مساعدة)

٢ الصيغة العامة

— نأخذ عناصر الصف الأول بالتناوب مع الإشارات:

+ \quad - \quad +

— لكل عنصر: نغطي صفه وعموده ونحسب محددة ما تبقى.

— الإشارة الثانية سالبة دائماً بغض النظر عن إشارة العنصر نفسه.

\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

= a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}

+ c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

الحد الأول إشارة موجبة

الحد الثاني إشارة سالبة — لا تنساها

الحد الثالث إشارة موجبة

٣ طريقة إيجاد المحددات المساعدة

— المثال: نطبق على المصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الأول (1) — إشارة موجبة:

نغطي الصف الأول والعمود الأول:

+1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الثاني (2) — إشارة سالبة:

نغطي الصف الأول والعمود الثاني:

-2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

للعنصر الثالث (3) — إشارة موجبة:

نغطي الصف الأول والعمود الثالث:

+3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

نغطي الصف والعمود المقابل لكل عنصر ونحسب ما تبقى

٤ الحساب النهائي — المثال الكامل

المحددة الأولى:

\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}

= (5 \times 9) - (6 \times 8)

= 45 - 48 = -3

المحددة الثانية:

\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

= (4 \times 9) - (6 \times 7)

= 36 - 42 = -6

المحددة الثالثة:

\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

= (4 \times 8) - (5 \times 7)

= 32 - 35 = -3

التجميع النهائي:

= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3)

= -3 + 12 - 9 = 0

المحددة = 0

٥ حاسبة تفاعلية — أدخل مصفوفتك

أدخل عناصر المصفوفة 3×3 لحساب المحددة خطوة بخطوة.

٦ ملخص الخطوات

الخطوة	الإجراء	ملاحظة
١	العنصر الأول × محددته المساعدة	إشارة موجبة
٢	العنصر الثاني × محددته المساعدة	إشارة سالبة دائماً
٣	العنصر الثالث × محددته المساعدة	إشارة موجبة
٤	احسب كل محددة 2×2 بقانون	غطِّ الصف والعمود
٥	اجمع النتائج الثلاث	الناتج رقم واحد

قانون المحددة 2×2:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

٧ الخلاصة

— نمط الإشارات: الحد الأول موجب، الثاني سالب، الثالث موجب — دائماً.

— المحددة المساعدة: غطِّ صف العنصر وعموده، احسب ما تبقى بقانون

ad-bc

.

— إذا كانت المحددة = 0: فالمصفوفة لا تملك نظيراً ضربياً.

— يمكن التطوير بحسب أي صف أو عمود — الصف الأول هو الأسهل عادةً.

تمارين محددة المصفوفة 3×3

مثال ١

حالة عامة

مثال ٢

عنصر = صفر

٣ و ٤

أرقام سالبة

١ مثال ١ — حالة عامة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير (نمط + − +):

= 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

المحددات المساعدة:

م١ (4×0) − (1×2) = −2

م٢ (0×0) − (1×1) = −1

م٣ (0×2) − (4×1) = −4

التجميع النهائي:

= 2(-2) - 1(-1) + 3(-4)

= -4 + 1 - 12 = -15

المحددة = −15

٢ مثال ٢ — عنصر يساوي صفر

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}

+ 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}

— العنصر الثاني = 0، لذا الحد الثاني بالكامل = 0 ولا نحتاج لحسابه.

المحددات المساعدة:

م١ (1×0) − (1×4) = −4

م٣ (3×4) − (1×2) = 10

التجميع النهائي:

= 1(-4) - 0 + 2(10)

= -4 + 0 + 20 = 16

المحددة = 16

٣ مثال ٣ — عنصر سالب في الصف الأول

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}

+ 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

— تبسيط الإشارات: ناتج سالب × سالب = موجب، فالحد الثاني يصبح موجباً.

المحددات المساعدة:

م١ (0×−1) − (2×1) = −2

م٢ (1×−1) − (2×0) = −1

م٣ (1×1) − (0×0) = 1

التجميع النهائي:

= 2(-2) + 1(-1) + 3(1)

= -4 - 1 + 3 = -2

المحددة = −2

٤ مثال ٤ — محددات مساعدة متنوعة

— احسب محددة المصفوفة:

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 5 & 0 & 2 \end{vmatrix}

— نطبق التطوير بحسب الصف الأول:

= 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}

+ 1 \times \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix}

المحددات المساعدة:

م١ (−1×2) − (4×0) = −2

م٢ (0×2) − (4×5) = −20

م٣ (0×0) − (−1×5) = 5

التجميع النهائي:

= 3(-2) - 2(-20) + 1(5)

= -6 + 40 + 5 = 39

المحددة = 39

٥ ملخص النتائج

المثال	التجميع	المحددة
١	$-4 + 1 - 12$	−15
٢	$-4 + 0 + 20$	16
٣	$-4 - 1 + 3$	−2
٤	$-6 + 40 + 5$	39

٦ الخلاصة

— نمط الإشارات: الحد الأول موجب، الثاني سالب، الثالث موجب — دائماً.

— عنصر = 0: الحد بالكامل يُلغى ولا تحتاج لحساب محددته المساعدة.

— عنصر سالب: إشارة التطوير × إشارة العنصر تُعطيان الإشارة الصحيحة.

— التحقق: اجمع الحدود الثلاثة بعناية — الأخطاء الشائعة في الإشارات والجمع.

1

حساب محددة المصفوفة 3×3:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix}

2

حساب محددة مصفوفة بها أصفار:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix}

3

حساب محددة مصفوفة الهوية 3×3:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

4

حساب محددة مع عناصر سالبة:

\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & -5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{vmatrix}

5

حساب محددة لإيجاد مساحة المثلث: النقاط (1,2), (3,4), (5,1):

6

تحديد قابلية العكس للمصفوفة:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

دروس ذات صلة

طريقة ضرب المصفوفات مع أمثلة

الثانوية

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات

الثانوية

تعريف المصفوفات ورتبها

الثانوية

شروط ضرب المصفوفات

الثانوية

محددة مصفوفة 2x2

الثانوية

شرح طريقة ايجاد محددة المصفوفات 3x3 – ثاني ثانوي | أكاديمية موسى