مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)

الرياضيات — المصفوفات

العنصر المحايد

الرقم 1 في الضرب

مصفوفة الوحدة

قطر = 1، باقي = 0

الخاصية

A × I = I × A = A

١العنصر المحايد في الضرب

— في عملية الضرب العادية، العنصر المحايد هو الرقم 1.
— أي عدد نضربه في 1 يعطي نفس العدد الأصلي.

a \times 1 = 1 \times a = a

5 \times 1 = 5

(-3) \times 1 = -3

1 \times 100 = 100

٢تعريف مصفوفة الوحدة

— عندما نضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة، نحصل على نفس المصفوفة الأصلية.

القطر الرئيسيجميع عناصره = 1

باقي العناصر= 0

الشكلمربع دائماً (n×n)

٣أمثلة على مصفوفات الوحدة

مصفوفة الوحدة 2×2:

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

مصفوفة الوحدة 3×3:

I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

مصفوفة الوحدة 4×4:

I_4 = \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

— القطر الرئيسي يمتد من الزاوية العلوية اليسرى إلى الزاوية السفلية اليمنى.

٤ضرب مصفوفة في مصفوفة الوحدة

— الخاصية المحايدة: A × I = I × A = A.
— شرط: يجب أن تكون المصفوفتان بنفس الرتبة.

الصف الأول × العمود الأول:

[a \quad b] \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

= a(1)+b(0) = a

الصف الأول × العمود الثاني:

[a \quad b] \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

= a(0)+b(1) = b

النتيجة العامة:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = A

A × I = I × A = A

٥مثال عددي للتحقق

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

العنصر (1,1):

2(1)+3(0) = 2

العنصر (1,2):

2(0)+3(1) = 3

العنصر (2,1):

4(1)+5(0) = 4

العنصر (2,2):

4(0)+5(1) = 5

= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \quad \checkmark

تم التحقق — نحصل على نفس المصفوفة الأصلية ✓

٦ملخص

المفهوم	القاعدة
العنصر المحايد	الرقم 1 — a × 1 = a
مصفوفة الوحدة	قطر = 1، باقي = 0، مربعة الشكل
الرمز	I₂ للرتبة 2، I₃ للرتبة 3 …
الخاصية المحايدة	A × I = I × A = A
شرط الضرب	يجب أن تتطابق رتبة المصفوفتين

٧الخلاصة

— العنصر المحايد: في الضرب العادي هو 1، وفي المصفوفات هو مصفوفة الوحدة I.
— مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة قطرها الرئيسي = 1 وباقي عناصرها = 0.
— الأحجام: توجد مصفوفة وحدة لكل رتبة — I₂، I₃، I₄ وما إلى ذلك.
— الخاصية الأساسية: ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعيد المصفوفة الأصلية.
— شرط مهم: يجب أن تتطابق رتبة المصفوفة مع رتبة مصفوفة الوحدة عند الضرب.

مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)

اختبر فهمك

الشرح

مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)

حل بالخطوات