طريقة كريمر — نظام ثلاث معادلات
الرياضيات — الوحدة الأولى
— طريقة كريمر تتطلب: عدد المعادلات = عدد المتغيرات.
— نحتاج أربع محددات: D و Dx و Dy و Dz.
| الخطوة | الإجراء | الرمز |
|---|---|---|
| ١ | احسب محددة مصفوفة المعاملات | D |
| ٢ | استبدل عمود x بالثوابت واحسب | Dx |
| ٣ | استبدل عمود y بالثوابت واحسب | Dy |
| ٤ | استبدل عمود z بالثوابت واحسب | Dz |
| ٥ | x = Dx ÷ D | x |
| ٦ | y = Dy ÷ D | y |
| ٧ | z = Dz ÷ D | z |
— المصفوفة المساعدة: استبدل عمود المتغير المطلوب بعمود الثوابت فقط.
— الشرط الأساسي: D ≠ 0 قبل البدء بأي خطوة.
— القانون: x=Dx/D، y=Dy/D، z=Dz/D — نفس قانون النظام الثنائي مع إضافة z.
تمارين طريقة كريمر الثلاثية
الرياضيات — الوحدة الأولى
| المسألة | D | Dx | Dy | Dz | الحل |
|---|---|---|---|---|---|
| أ | −330 | −345 | 855 | −465 | حلول كسرية |
| ب | 384 | −1536 | 1920 | −384 | x=−4، y=5، z=−1 |
— مسألة ب: حلول صحيحة x=−4، y=5، z=−1 تم التحقق منها في المعادلات الثلاث.
— التطوير: في كل محددة 3×3 نتبع نمط + − + بحسب الصف الأول.
— التحقق ضروري: عوّض في المعادلات الثلاث بعد الحل للتأكد.
اختبار: طريقة كريمر لحل الأنظمة الثلاثية
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **قاعدة كرامر**، وهي طريقة لحل نظام من المعادلات الخطية، بشرط أن يكون **عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات**. وعند تكوين مصفوفة المعاملات، يجب أن تكون **مصفوفة مربعة** مثل \(2 \times 2\) أو \(3 \times 3\) أو \(4 \times 4\).
لماذا تستخدم قاعدة كرامر؟
تُستخدم قاعدة كرامر كثيرًا في أنظمة الحاسب، لأن خطواتها واضحة ومنظمة، مما يجعل تحويلها إلى خوارزميات أو برامج أمرًا سهلًا.
أما الطرق التقليدية، مثل التعويض أو الحذف، فتزداد خطواتها كلما زاد عدد المعادلات، وبالتالي ترتفع احتمالية الوقوع في الأخطاء.
مثال على نظام من ثلاث معادلات
لدينا النظام التالي:
- \(4x + 5y - 6z = -14\) - \(3x - 2y + 7z = 47\) - \(7x - 6y - 8z = 15\)
نلاحظ أن لدينا **ثلاث معادلات وثلاثة متغيرات**، لذلك يمكن استخدام قاعدة كرامر.
الخطوة الأولى: حساب محددة مصفوفة المعاملات
نكوّن مصفوفة المعاملات من معاملات المتغيرات فقط، ثم نحسب محددتها باستخدام طريقة حساب محددة المصفوفة \(3 \times 3\).
في هذا المثال تكون قيمة محددة المعاملات:
**621**
الخطوة الثانية: إيجاد قيمة \(x\)
لحساب \(x\):
- نستبدل **عمود \(x\)** في مصفوفة المعاملات بعمود الثوابت الموجود بعد علامة المساواة. - نحسب محددة المصفوفة الجديدة. - ثم نقسمها على محددة المعاملات.
في هذا المثال:
- محددة \(x = 3105\)
إذن:
\[ x = \frac{3105}{621} = 5 \]
الخطوة الثالثة: إيجاد قيمة \(y\)
لحساب \(y\):
- نستبدل **عمود \(y\)** بعمود الثوابت. - نحسب المحددة الجديدة. - نقسم الناتج على محددة المعاملات.
في هذا المثال:
- محددة \(y = -1242\)
إذن:
\[ y = \frac{-1242}{621} = -2 \]
الخطوة الرابعة: إيجاد قيمة \(z\)
لحساب \(z\):
- نستبدل **عمود \(z\)** بعمود الثوابت. - نحسب المحددة الجديدة. - نقسم الناتج على محددة المعاملات.
في هذا المثال:
- محددة \(z = 2484\)
إذن:
\[ z = \frac{2484}{621} = 4 \]
الخلاصة
تعتمد قاعدة كرامر على أربع خطوات رئيسية:
1. التأكد من أن عدد المعادلات يساوي عدد المتغيرات. 2. حساب محددة مصفوفة المعاملات. 3. استبدال عمود كل متغير بعمود الثوابت وحساب المحددة الجديدة. 4. قسمة كل محددة على محددة المعاملات للحصول على قيمة المتغير المقابل.
وفي المثال السابق كانت النتائج:
- \(x = 5\) - \(y = -2\) - \(z = 4\)
عن هذا الدرس
شرح درس قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات في ثاني ثانوي، الفصل الأول، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
