مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)
الرياضيات — المصفوفات
— أي عدد نضربه في 1 يعطي نفس العدد الأصلي.
— شرط: يجب أن تكون المصفوفتان بنفس الرتبة.
| المفهوم | القاعدة |
|---|---|
| العنصر المحايد | الرقم 1 — a × 1 = a |
| مصفوفة الوحدة | قطر = 1، باقي = 0، مربعة الشكل |
| الرمز | I₂ للرتبة 2، I₃ للرتبة 3 … |
| الخاصية المحايدة | A × I = I × A = A |
| شرط الضرب | يجب أن تتطابق رتبة المصفوفتين |
— مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة قطرها الرئيسي = 1 وباقي عناصرها = 0.
— الأحجام: توجد مصفوفة وحدة لكل رتبة — I₂، I₃، I₄ وما إلى ذلك.
— الخاصية الأساسية: ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعيد المصفوفة الأصلية.
— شرط مهم: يجب أن تتطابق رتبة المصفوفة مع رتبة مصفوفة الوحدة عند الضرب.
اختبار: مصفوفة الوحدة (المصفوفة المحايدة)
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **مصفوفة الوحدة**، وهي العنصر المحايد في عملية ضرب المصفوفات، تمامًا كما أن العدد **1** هو العنصر المحايد في ضرب الأعداد.
العنصر المحايد في الضرب
نعرف أن أي عدد إذا ضربناه في **1** فإن الناتج يبقى هو العدد نفسه.
وبالمثل في عالم المصفوفات، توجد مصفوفة خاصة إذا ضربنا بها أي مصفوفة مناسبة، فإن الناتج يكون نفس المصفوفة دون تغيير، وتسمى **مصفوفة الوحدة**.
تعريف مصفوفة الوحدة
مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي تكون جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي **1**، بينما تكون جميع العناصر الأخرى **0**.
فمثلًا:
- مصفوفة الوحدة من الرتبة \(2 \times 2\) يكون قطرها الرئيسي مكوّنًا من العددين 1 و1، وبقية العناصر أصفار. - ومصفوفة الوحدة من الرتبة \(3 \times 3\) يكون القطر الرئيسي فيها أيضًا كله 1، وجميع العناصر الأخرى تساوي 0.
شرط الضرب بمصفوفة الوحدة
لكي نضرب مصفوفة في مصفوفة الوحدة، يجب أن تكون **مصفوفة الوحدة من نفس الرتبة**.
فإذا كانت المصفوفة من الرتبة \(2 \times 2\)، فلا بد أن نضربها في مصفوفة وحدة \(2 \times 2\).
وإذا كانت من الرتبة \(3 \times 3\)، فيجب أن تكون مصفوفة الوحدة أيضًا \(3 \times 3\).
نتيجة الضرب
عند ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة من نفس الرتبة، فإن جميع العناصر تبقى كما هي، ويكون الناتج هو **المصفوفة الأصلية نفسها**.
فإذا حسبنا عناصر المصفوفة الناتجة صفًا بصف وعمودًا بعمود، سنجد أن كل عنصر يساوي نظيره في المصفوفة الأصلية، ولذلك لا يحدث أي تغيير.
الخلاصة
- مصفوفة الوحدة هي العنصر المحايد في ضرب المصفوفات. - عناصر القطر الرئيسي فيها تساوي **1**، وبقية العناصر تساوي **0**. - يجب أن تكون من **نفس رتبة** المصفوفة التي نريد ضربها. - ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة يعطي **المصفوفة نفسها**.
عن هذا الدرس
في هذا الدرس سنتعرف على **مصفوفة الوحدة**، وهي العنصر المحايد في عملية ضرب المصفوفات، تمامًا كما أن العدد **1** هو العنصر المحايد في ضرب الأعداد. العنصر… هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
