النظير الضربي للمصفوفات

النظير الضربي للمصفوفات 2×2

الرياضيات — المصفوفات

الخطوة ١

المحددة (ad−bc)

الخطوة ٢

تبديل وتغيير الإشارات

الخطوة ٣

القسمة على المحددة

١مفهوم النظير الضربي

— النظير الضربي للمصفوفة هو المصفوفة التي عند ضربها في الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة.
— مشابه للأعداد: ضرب العدد في نظيره يعطي 1.

A \times A^{-1} = I

— الرمز

A^{-1}

هو رمز خاص وليس أساً حسابياً.
— يجب أن تكون المحددة ≠ 0 حتى يوجد النظير الضربي.

٢الصيغة العامة

الخطوة ١حساب det(A) = ad − bc

الخطوة ٢تبديل القطر الرئيسي، تغيير إشارات القطر الآخر

الخطوة ٣القسمة على المحددة

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

٣مثال — الخطوة ١: المحددة

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}

\det(A) = ad - bc

= (3)(4) - (2)(1)

= 12 - 2 = 10

المحددة = 10

٤الخطوة ٢: تبديل وتغيير العناصر

— القطر الرئيسي (3 و 4): نبدّل مواضعهما فقط.
— القطر الآخر (2 و 1): نغيّر إشاراتهما فقط.

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

3 و 4 تبدّلا مواضعهما — 2 أصبحت −2 و 1 أصبحت −1

٥الخطوة ٣: القسمة على المحددة

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \tfrac{4}{10} & \tfrac{-2}{10} \\ \tfrac{-1}{10} & \tfrac{3}{10} \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

A⁻¹ = [[ 0.4 ، −0.2 ] ، [ −0.1 ، 0.3 ]]

٦التحقق من صحة النظير الضربي

— نضرب A × A⁻¹ ونتحقق أن النتيجة مصفوفة الوحدة I.

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.4 & -0.2 \\ -0.1 & 0.3 \end{bmatrix}

العنصر (1,1):

3(0.4)+2(-0.1) = 1.2-0.2 = 1

العنصر (1,2):

3(-0.2)+2(0.3) = -0.6+0.6 = 0

العنصر (2,1):

1(0.4)+4(-0.1) = 0.4-0.4 = 0

العنصر (2,2):

1(-0.2)+4(0.3) = -0.2+1.2 = 1

A \times A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \checkmark

تم التحقق — حاصل الضرب يساوي مصفوفة الوحدة ✓

٧ملخص

الخطوة	العملية
١ — المحددة	det(A) = ad − bc
٢ — التبديل والتغيير	تبديل القطر الرئيسي، تغيير إشارات القطر الآخر
٣ — القسمة	× (1 / det(A))
التحقق	A × A⁻¹ = I
شرط الوجود	المحددة ≠ 0، وإلا لا يوجد نظير

٨الخلاصة

— النظير الضربي: مصفوفة عند ضربها في الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة I.
— الرمز A⁻¹ هو رمز خاص وليس أساً حسابياً.
— الخطوات: المحددة ← التبديل والتغيير ← القسمة على المحددة.
— شرط الوجود: المحددة يجب أن تكون مختلفة عن الصفر.
— التحقق: دائماً تحقّق بحساب حاصل الضرب والتأكد أنه يساوي مصفوفة الوحدة.

النظير الضربي للمصفوفات — مسائل محلولة

الرياضيات — المصفوفات

المسألة ١

مصفوفة D بمحددة سالبة

المسألة ٢

مصفوفة T بعنصر سالب

١ أوجد النظير الضربي للمصفوفة D

D = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}

الخطوة ١ — المحددة:

\det(D) = (3)(-4)-(7)(1)

= -12-7 = -19

الخطوة ٢ — تبديل القطر وتغيير الإشارات:

— القطر الرئيسي: نبدّل 3 و −4.
— القطر الآخر: 7 تصبح −7، و 1 تصبح −1.

\begin{bmatrix} -4 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

الخطوة ٣ — القسمة على المحددة −19:

D^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -4 & -7 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} \tfrac{4}{19} & \tfrac{7}{19} \\ \tfrac{1}{19} & -\tfrac{3}{19} \end{bmatrix}

التحقق:

D \times D^{-1}

= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \quad \checkmark

D⁻¹ = [[4/19 ، 7/19] ، [1/19 ، −3/19]]

٢ أوجد النظير الضربي للمصفوفة T

T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}

الخطوة ١ — المحددة:

\det(T) = (2)(3)-(1)(-4)

= 6+4 = 10

الخطوة ٢ — تبديل القطر وتغيير الإشارات:

— القطر الرئيسي: نبدّل 2 و 3.
— القطر الآخر: 1 تصبح −1، و −4 تصبح 4.

\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

الخطوة ٣ — القسمة على المحددة 10:

T^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0.3 & -0.1 \\ 0.4 & 0.2 \end{bmatrix}

التحقق — عناصر T × T⁻¹:

العنصر (1,1):

2(0.3)+1(0.4) = 0.6+0.4 = 1 \checkmark

العنصر (1,2):

2(-0.1)+1(0.2) = -0.2+0.2 = 0 \checkmark

العنصر (2,1):

-4(0.3)+3(0.4) = -1.2+1.2 = 0 \checkmark

العنصر (2,2):

-4(-0.1)+3(0.2) = 0.4+0.6 = 1 \checkmark

T⁻¹ = [[0.3 ، −0.1] ، [0.4 ، 0.2]]

٣ ملخص الخطوات

الخطوة	العملية
١ — المحددة	det(A) = ad − bc
٢ — التبديل والتغيير	تبديل القطر الرئيسي، تغيير إشارات القطر الآخر
٣ — القسمة	ضرب الناتج في 1/det(A)
التحقق	A × A⁻¹ = I

٤ الخلاصة

— المحددة السالبة: لا تمنع وجود النظير الضربي — المهم أنها ≠ 0.
— عند القسمة على محددة سالبة: تتغير إشارات جميع عناصر المصفوفة الناتجة.
— العناصر السالبة في المصفوفة الأصلية لا تؤثر على آلية الخطوات — القواعد ذاتها.
— التحقق دائماً ضروري: حاصل الضرب يجب أن يساوي مصفوفة الوحدة تماماً.

في هذا الدرس سنتعلم كيفية إيجاد النظير الضربي لمصفوفة \(2 \times 2\)، ولإيجاده نحتاج إلى ثلاث خطوات بسيطة.

الخطوة الأولى: حساب المحددة

نبدأ بحساب محددة المصفوفة، وذلك بضرب عناصر القطر الرئيسي ثم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر.

وهذه هي المحددة التي سنستخدمها في الخطوة الأخيرة.

الخطوة الثانية: تعديل عناصر المصفوفة

نعود إلى المصفوفة الأصلية ونطبق القاعدتين التاليتين:

- نبدّل عنصري القطر الرئيسي مكان بعضهما، دون تغيير إشاراتهما. - نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر فقط، دون تبديل موقعيهما.

الخطوة الثالثة: القسمة على المحددة

بعد تنفيذ الخطوتين السابقتين، نقسم جميع عناصر المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة التي حسبناها في البداية.

وبذلك نحصل على **النظير الضربي للمصفوفة**.

رمز النظير الضربي

إذا كان رمز المصفوفة هو \(A\)، فإن النظير الضربي يرمز له بالشكل:

\[ A^{-1} \]

ويجب الانتباه إلى أن الأس \(-1\) هنا لا يعني أسًا عدديًا، وإنما هو رمز يدل على **النظير الضربي للمصفوفة**.

فائدة النظير الضربي

إذا ضربنا المصفوفة الأصلية في نظيرها الضربي، فإن الناتج يكون **مصفوفة الوحدة**.

أي:

\[ A \times A^{-1} = I \]

حيث إن مصفوفة الوحدة تحتوي على العدد **1** في عناصر القطر الرئيسي، و**0** في باقي العناصر.

الخلاصة

لإيجاد النظير الضربي لمصفوفة \(2 \times 2\):

1. نحسب المحددة. 2. نبدّل عنصري القطر الرئيسي. 3. نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر. 4. نقسم عناصر المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة.

وعند ضرب المصفوفة في نظيرها الضربي يكون الناتج **مصفوفة الوحدة**، والتي تمثل العنصر المحايد في ضرب المصفوفات، تمامًا كما يمثل العدد **1** العنصر المحايد في ضرب الأعداد.

1

إيجاد النظير الضربي لمصفوفة 2×2

2

مثال بمحددة سالبة

3

مثال على مصفوفة ليس لها نظير ضربي

4

مثال بأعداد عشرية

5

التحقق من النظير الضربي

6

مثال عملي: حل نظام بالنظير الضربي

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

شرح درس النظير الضربي للمصفوفات في ثاني ثانوي، الفصل الأول، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

الثانوية

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

الثانوية

الأعداد المركبة

الثانوية

تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية والقطبية

الثانوية

أمثلة حساب الضرب الاتجاهي بالمصفوفات

الثانوية

شرح النظير الضربي للمصفوفات – الثانوية ثاني ثانوي | أكاديمية موسى