حل نظام المعادلات بالنظير الضربي
الرياضيات — المصفوفات
— بدلاً من القسمة على A نضرب الطرفين في A⁻¹ من اليسار.
| الخطوة | العملية |
|---|---|
| ١ — الشكل المصفوفي | استخراج A و X و B من النظام |
| ٢ — حساب A⁻¹ | المحددة ← التبديل والتغيير ← القسمة |
| ٣ — الحل | X = A⁻¹ × B |
| ٤ — التحقق | تعويض الحل في المعادلتين الأصليتين |
— قاعدة الحل: نضرب الطرفين في A⁻¹ من اليسار للحصول على X = A⁻¹B.
— شرط الحل: يجب أن تكون المحددة ≠ 0 حتى يوجد A⁻¹.
— الميزة: الطريقة تعمل مع أي حجم نظام، ليس فقط 2×2.
— التحقق دائماً ضروري: عوّض القيم في المعادلات الأصلية للتأكد.
حل أنظمة المعادلات بالنظير الضربي — مسائل محلولة
الرياضيات — المصفوفات
| الخطوة | العملية |
|---|---|
| ١ — الشكل المصفوفي | استخراج A و X و B من النظام |
| ٢ — المحددة | det(A) = ad − bc ، يجب أن ≠ 0 |
| ٣ — النظير الضربي | تبديل وتغيير ← القسمة على det(A) |
| ٤ — الحل | X = A⁻¹ × B |
| ٥ — التحقق | تعويض x و y في المعادلتين الأصليتين |
— قاعدة الحل الثابتة: X = A⁻¹ × B بغض النظر عن قيم المعاملات.
— الحسابات: قسّم دائماً على المحددة وتحقق من كل عنصر على حدة.
— التحقق إلزامي: عوّض النتيجة في المعادلتين الأصليتين وليس في المصفوفة.
جاري تحميل التمرين...
في هذا الدرس سنتعرف على أحد أهم استخدامات **النظير الضربي للمصفوفات**، وهو حل نظام من المعادلات الخطية.
تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفات
إذا كان لدينا نظام يتكون من معادلتين ومتغيرين \(x\) و\(y\)، مثل:
\[ x+y=100 \]
\[ 1.5x+1.45y=149 \]
فإننا نحول النظام إلى صورة مصفوفية تتكون من:
- مصفوفة المعاملات. - مصفوفة المتغيرات \((x, y)\). - مصفوفة الثوابت، وهي الأعداد الموجودة بعد علامة المساواة.
إيجاد النظير الضربي
الخطوة الأساسية في هذه الطريقة هي حساب **النظير الضربي لمصفوفة المعاملات**.
وبعد تطبيق خطوات إيجاد النظير الضربي كما تعلمنا سابقًا، نحصل على المصفوفة:
\[ \begin{bmatrix} -29 & 20 \\ 30 & -20 \end{bmatrix} \]
ضرب النظير الضربي في مصفوفة الثوابت
بعد الحصول على النظير الضربي، نضربه في مصفوفة الثوابت:
\[ \begin{bmatrix} 100 \\ 149 \end{bmatrix} \]
ولإجراء الضرب نتحقق أولًا من الأبعاد:
- المصفوفة الأولى رتبتها \(2 \times 2\). - المصفوفة الثانية رتبتها \(2 \times 1\).
وبما أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية، فإن الضرب ممكن.
بعد تنفيذ عملية ضرب المصفوفات نحصل على:
\[ \begin{bmatrix} 80 \\ 20 \end{bmatrix} \]
أي أن:
- \(x=80\) - \(y=20\)
لماذا تعمل هذه الطريقة؟
إذا رمزنا إلى:
- مصفوفة المعاملات بـ \(A\). - مصفوفة المتغيرات بـ \(X\). - مصفوفة الثوابت بـ \(B\).
فإن نظام المعادلات يكتب بالشكل:
\[ AX=B \]
ولإيجاد \(X\)، نضرب طرفي المعادلة في النظير الضربي للمصفوفة \(A\):
\[ A^{-1}AX=A^{-1}B \]
وبما أن:
\[ A^{-1}A=I \]
حيث \(I\) هي **مصفوفة الوحدة**، فإن المعادلة تصبح:
\[ IX=A^{-1}B \]
ولأن ضرب أي مصفوفة في مصفوفة الوحدة لا يغيرها، فإن:
\[ X=A^{-1}B \]
وهذا هو المبدأ الذي تعتمد عليه طريقة حل أنظمة المعادلات باستخدام **النظير الضربي للمصفوفات**.
الخلاصة
لحل نظام معادلات باستخدام النظير الضربي:
1. نحوّل النظام إلى الصورة المصفوفية \(AX=B\). 2. نحسب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات \(A^{-1}\). 3. نضرب \(A^{-1}\) في مصفوفة الثوابت \(B\). 4. تكون المصفوفة الناتجة هي مصفوفة المتغيرات، ومنها نستخرج قيم المتغيرات.
وفي المثال السابق كانت النتيجة:
- \(x=80\) - \(y=20\)
عن هذا الدرس
شرح درس حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة في ثاني ثانوي، الفصل الأول، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
