حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي

حل نظام المعادلات بثلاث طرق

الرياضيات — الجبر الخطي

الطريقة ١

التعويض التقليدي

الطريقة ٢

قاعدة كريمر

الطريقة ٣

النظير الضربي

i ملخص الدرس

الموضوعحل نظام المعادلات بثلاث طرق

الطرقتعويض، كريمر، النظير الضربي

الهدفمقارنة فعالية الطرق المختلفة

2x + 3y = 8

4x + 5y = 14

النظام المستخدم في الأمثلة الثلاثة

١ التعويض التقليدي

الخطوة ١ — حل المعادلة الأولى لـ y:

3y = 8 - 2x

y = \frac{8 - 2x}{3}

الخطوة ٢ — التعويض في الثانية:

4x + 5\left(\frac{8-2x}{3}\right) = 14

\implies x = 1

الخطوة ٣ — إيجاد y:

y = \frac{8 - 2(1)}{3} = \frac{6}{3} = 2

x = 1 ، y = 2

٢ قاعدة كريمر

الخطوة ١ — حساب المحدد D:

D = (2)(5) - (3)(4)

= 10 - 12 = -2

الخطوة ٢ — محدد x:

D_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ 14 & 5 \end{vmatrix}

= 40 - 42 = -2

الخطوة ٣ — محدد y:

D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 14 \end{vmatrix}

= 28 - 32 = -4

الخطوة ٤ — إيجاد الحلول:

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-2} = 2

x = 1 ، y = 2

٣ النظير الضربي للمصفوفات

AX = B

\implies X = A^{-1}B

الصيغة المصفوفية

الخطوة ١ — كتابة المصفوفات:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} 8 \\ 14 \end{bmatrix}

الخطوة ٢ — حساب النظير:

A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}

الخطوة ٣ — ضرب في B:

X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}

x = 1 ، y = 2

٤ مقارنة الطرق الثلاث

التعويض التقليدي

✅ بسيط ومباشر
✅ لا يتطلب حفظ قوانين
❌ قد يصبح معقداً

قاعدة كريمر

✅ منهجي ودقيق
✅ مناسب للبرمجة
❌ يتطلب حساب محددات

النظير الضربي

✅ فعال للأنظمة الكبيرة
✅ يمكن إعادة استخدامه
❌ يتطلب حساب النظير

✅ جميع الطرق تعطي: x = 1 ، y = 2

٥ نصائح مهمة

— تحقق دائماً من النتائج بالتعويض في المعادلة الأصلية.
— تأكد من أن المحدد ≠ 0 قبل تطبيق كريمر أو النظير.
— التعويض أسرع للأنظمة البسيطة ذات المعاملات الصغيرة.
— النظير الضربي مفيد للأنظمة الكبيرة أو المتكررة.
— قاعدة كريمر مناسبة للتطبيقات البرمجية والمنهجية.
— استخدم الآلة الحاسبة للعمليات المعقدة لتجنب الأخطاء.

حل نظام المعادلات بالطرق الثلاث — مسائل محلولة

الرياضيات — الجبر الخطي

١أوجد x و y بالطرق الثلاث

3x + 2y = 12

x - y = 1

الطريقة ١ — التعويض التقليدي

من المعادلة الثانية نستخرج x:

x - y = 1

\implies x = y + 1

التعويض في الأولى:

3(y+1) + 2y = 12

5y = 9

y = \frac{9}{5}

إيجاد x:

x = y + 1 = \frac{9}{5} + 1 = \frac{14}{5}

الطريقة ٢ — قاعدة كريمر

D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}

= 3(-1) - 2(1) = -5

D_x = \begin{vmatrix} 12 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -14

x = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5}

D_y = \begin{vmatrix} 3 & 12 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -9

y = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5}

الطريقة ٣ — النظير الضربي

\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ \frac{9}{5} \end{pmatrix}

x = 14/5 ، y = 9/5

٢أوجد x و y بالطرق الثلاث

2x - 3y = 1

4x + y = 11

الطريقة ١ — التعويض التقليدي

من المعادلة الثانية نستخرج y:

4x + y = 11

\implies y = 11 - 4x

التعويض في الأولى:

2x - 3(11 - 4x) = 1

14x = 34

x = \frac{17}{7}

إيجاد y:

y = 11 - 4 \cdot \frac{17}{7} = \frac{9}{7}

الطريقة ٢ — قاعدة كريمر

D = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}

= 2(1) - (-3)(4) = 14

D_x = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 11 & 1 \end{vmatrix} = 34

x = \frac{34}{14} = \frac{17}{7}

D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 11 \end{vmatrix} = 18

y = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}

الطريقة ٣ — النظير الضربي

\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 11 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{17}{7} \\ \frac{9}{7} \end{pmatrix}

x = 17/7 ، y = 9/7

٣أوجد x و y بالطرق الثلاث

5x + 2y = 19

3x - 4y = -1

الطريقة ١ — التعويض التقليدي

من المعادلة الأولى نستخرج y:

5x + 2y = 19

y = \frac{19 - 5x}{2}

التعويض في الثانية:

3x - 4 \cdot \frac{19-5x}{2} = -1

13x = 37

x = \frac{37}{13}

إيجاد y:

y = \frac{19 - 5 \cdot \frac{37}{13}}{2} = \frac{31}{13}

الطريقة ٢ — قاعدة كريمر

D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}

= 5(-4) - 2(3) = -26

D_x = \begin{vmatrix} 19 & 2 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = -74

x = \frac{-74}{-26} = \frac{37}{13}

D_y = \begin{vmatrix} 5 & 19 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -62

y = \frac{-62}{-26} = \frac{31}{13}

الطريقة ٣ — النظير الضربي

\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ -1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{-26} \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{37}{13} \\ \frac{31}{13} \end{pmatrix}

x = 37/13 ، y = 31/13

في هذا الدرس سنتعلم حل نظام من المعادلات الخطية بثلاث طرق مختلفة، وهي: الطريقة التقليدية بالتعويض، وقاعدة كرامر، وطريقة النظير الضربي للمصفوفات. والمفترض أن نحصل على نفس الحل مهما اختلفت الطريقة المستخدمة.

الطريقة الأولى: التعويض

نبدأ بحل المتغير \(y\) من المعادلة الأولى، فنحصل على:

\[ y=\frac{8-2x}{3} \]

بعد ذلك نعوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية، فتتحول إلى معادلة تحتوي على المتغير \(x\) فقط.

بحلها نجد أن:

\[ x=1 \]

ثم نعوض بقيمة \(x\) في المعادلة الأولى لنحصل على:

\[ y=2 \]

وهذه هي الطريقة التقليدية التي اعتدنا عليها قبل دراسة المصفوفات، لكنها تصبح أطول وأكثر عرضة للأخطاء كلما زاد عدد المعادلات.

الطريقة الثانية: قاعدة كرامر

نكوّن أولًا **مصفوفة المعاملات**، والتي يجب أن تكون مصفوفة مربعة، أي أن عدد المعادلات يساوي عدد المتغيرات.

في هذا المثال لدينا متغيران \(x\) و\(y\)، لذلك لدينا معادلتان، ويمكن استخدام قاعدة كرامر.

نحسب محددة مصفوفة المعاملات بضرب عناصر القطر الرئيسي ثم طرح حاصل ضرب عناصر القطر الآخر، فنجد أن قيمة المحددة تساوي:

\[ 5 \]

بعد ذلك نحسب:

\[ x=\frac{\text{محددة }x}{5} \]

وذلك باستبدال عمود معاملات \(x\) بعمود الثوابت، ثم حساب المحددة الجديدة.

فيكون:

\[ \text{محددة }x=5 \]

ومن ثم:

\[ x=\frac{5}{5}=1 \]

وبالطريقة نفسها نحسب:

\[ y=\frac{\text{محددة }y}{5} \]

فنستبدل عمود معاملات \(y\) بعمود الثوابت، ثم نحسب المحددة الجديدة، فنجد أنها تساوي:

\[ 10 \]

وبالتالي:

\[ y=\frac{10}{5}=2 \]

وهكذا وصلنا إلى نفس الحل باستخدام قاعدة كرامر.

الطريقة الثالثة: النظير الضربي للمصفوفة

في هذه الطريقة نحسب أولًا **النظير الضربي لمصفوفة المعاملات**، ثم نضربه في مصفوفة الثوابت.

ولإيجاد النظير الضربي:

- نحسب المحددة. - نبدّل عنصري القطر الرئيسي. - نغيّر إشارات عنصري القطر الآخر. - ثم نقسم المصفوفة الناتجة على قيمة المحددة.

بعد الحصول على النظير الضربي، نضربه في مصفوفة الثوابت، والتي تحتوي في هذا المثال على العددين:

\[ \begin{bmatrix} 8\\ 9 \end{bmatrix} \]

وبإجراء عملية ضرب المصفوفات نحصل على:

\[ \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} \]

أي أن:

- \(x=1\) - \(y=2\)

الخلاصة

يمكن حل نظام المعادلات الخطية بعدة طرق، منها:

1. التعويض. 2. قاعدة كرامر. 3. استخدام النظير الضربي للمصفوفات.

وعند تطبيق أي من هذه الطرق بطريقة صحيحة، نحصل على نفس الحل النهائي، وهو:

- \(x=1\) - \(y=2\)

1

حل النظام بالطرق الثلاث: 2x + 3y = 8, 4x + 5y = 14

2

حل النظام: x + 2y = 7, 3x - y = 4

3

مقارنة الطرق: x - y = 2, 2x + y = 7

4

حالة خاصة: نظام بلا حل وحيد

5

نظام ثلاثي: مقارنة الطرق

ثاني ثانوي الفصل الأول

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

شرح درس حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي في ثاني ثانوي، الفصل الأول، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

حل نظام المعادلات باستخدام النظير الضربي للمصفوفة

الثانوية

قاعدة كرامر لحل نظام من ٣ معادلات

الثانوية

قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين

الثانوية

النظير الضربي للمصفوفات

الثانوية

دلالة المميز في المعادلات التربيعية و أنواع الحلول

الثانوية

شرح حل نظام معادلات بطرق مختلفة: التعويض التقليدي و قاعدة كرامر و باستخدام النظير الضربي | أكاديمية موسى