الأعداد التخيلية والأعداد المركبة
الرياضيات — الأعداد المركبة
— الحل: تعريف الوحدة التخيلية i.
القاعدة العامة — لأي عدد موجب a
— الجزء الحقيقي = 1، معامل التخيلي = 5.
الطرح
الجمع
| المفهوم | القاعدة |
|---|---|
| الوحدة التخيلية | i = √−1 ، i² = −1 |
| جذر عدد سالب | √−a = i√a |
| العدد المركب | z = a + bi |
| الجمع والطرح | حقيقي مع حقيقي، تخيلي مع تخيلي |
| الضرب | توزيع عادي ثم استبدال i² بـ −1 |
— العدد المركب: جزء حقيقي a وجزء تخيلي bi على شكل a + bi.
— الجمع والطرح: نعمل على الأجزاء المتشابهة فقط — لا نجمع حقيقياً مع تخيلي.
— الضرب: قواعد الجبر العادي مع استبدال i² بـ −1 دائماً.
— ضرب عدد مركب في مرافقه ينتج عدداً حقيقياً بحتاً.
الأعداد المركبة — جمع وطرح — مسائل محلولة
الرياضيات — الأعداد المركبة
| العملية | القاعدة |
|---|---|
| الجمع | (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i |
| الطرح | (a+bi)−(c+di) = (a−c)+(b−d)i |
| تنبيه الطرح | وزّع الإشارة السالبة على القوسين أولاً |
— الطرح: وزّع الإشارة السالبة على القوسين قبل الجمع لتجنب الأخطاء.
— الناتج: دائماً على شكل a + bi حيث a و b أعداد حقيقية.
اختبار: الأعداد التخيلية والأعداد المركبة
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **الأعداد التخيلية**، والتي ظهرت بسبب الجذر التربيعي للأعداد السالبة، لأننا لا نستطيع إيجاد عدد حقيقي إذا ضربناه في نفسه يعطينا عددًا سالبًا.
لماذا ظهرت الأعداد التخيلية؟
نعرف أن:
\[ \sqrt{9} = 3 \]
لكن إذا كان لدينا:
\[ \sqrt{-9} \]
فلا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي **سالب 9**.
لذلك استُخدم الرمز **\(i\)**، وهو اختصار لكلمة **Imaginary**، وعُرّف بحيث:
\[ i^2 = -1 \]
تبسيط الجذور السالبة
إذا كان لدينا:
\[ \sqrt{-9} \]
فنكتبها على الصورة:
\[ \sqrt{-1 \times 9} \]
ثم نفصل الجذر إلى:
\[ \sqrt{-1} \times \sqrt{9} \]
وبما أن:
\[ \sqrt{-1}=i \]
و:
\[ \sqrt{9}=3 \]
فإن الناتج يصبح:
\[ 3i \]
لماذا نحتفظ بالرمز \(i\)؟
نترك الرمز \(i\) في الناتج، لأن العمليات الحسابية اللاحقة قد تعيدنا إلى الأعداد الحقيقية.
فعلى سبيل المثال:
\[ i^2=-1 \]
وبذلك قد يختفي الجزء التخيلي بعد إجراء بعض العمليات.
مثال على الضرب
إذا كان لدينا:
\[ (1+i)(1-i) \]
فنوزع الضرب:
- \(1 \times 1 = 1\) - \(1 \times (-i) = -i\) - \(i \times 1 = i\) - \(i \times (-i) = -i^2\)
وبما أن:
\[ i^2=-1 \]
فإن:
\[ -i^2 = -(-1)=1 \]
فتصبح النتيجة:
\[ 1-i+i+1=2 \]
ونلاحظ أن الناتج **عدد حقيقي**.
الأعداد المركبة
يدخلنا هذا إلى مفهوم **الأعداد المركبة**، وهي الأعداد التي تتكون من جزأين:
- جزء حقيقي. - وجزء تخيلي يحتوي على \(i\).
فمثلًا:
\[ 1+5i \]
العدد **1** هو الجزء الحقيقي، و**\(5i\)** هو الجزء التخيلي.
جمع وطرح الأعداد المركبة
في عمليات الجمع والطرح نتعامل مع كل جزء على حدة:
- نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية معًا. - ثم نجمع أو نطرح الأجزاء التخيلية معًا.
### مثال على الطرح
إذا كان لدينا:
\[ (5+i)-(3+3i) \]
فنطرح الأجزاء الحقيقية:
\[ 5-3=2 \]
ثم نطرح الأجزاء التخيلية:
\[ i-3i=-2i \]
فيكون الناتج:
\[ 2-2i \]
### مثال على الجمع
إذا كان لدينا:
\[ (5+i)+(3+3i) \]
نجمع الأجزاء الحقيقية:
\[ 5+3=8 \]
ثم نجمع الأجزاء التخيلية:
\[ i+3i=4i \]
فيكون الناتج:
\[ 8+4i \]
الخلاصة
- ظهرت الأعداد التخيلية بسبب الجذر التربيعي للأعداد السالبة. - يرمز للعدد التخيلي بالرمز **\(i\)**، حيث \(i^2=-1\). - يمكن تبسيط الجذور السالبة بإخراج \(i\) خارج الجذر. - العدد المركب يتكون من **جزء حقيقي** و**جزء تخيلي**. - عند جمع أو طرح الأعداد المركبة، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية معًا، ثم الأجزاء التخيلية معًا.
عن هذا الدرس
شرح درس الأعداد المركبة: جمعها وطرحها في ثاني ثانوي، الفصل الأول، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
