في هذا الدرس سنتعلم كيفية **ضرب وقسمة الأعداد المركبة**، والهدف في النهاية هو كتابة الناتج على الصورة القياسية، بحيث يتكون من **جزء حقيقي** وجزء تخيلي.

ضرب الأعداد المركبة

إذا كان لدينا:

\[ (2+4i)(9-3i) \]

فنوزع الضرب كما نفعل مع كثيرات الحدود:

- \(2 \times 9 = 18\) - \(2 \times (-3i) = -6i\) - \(4i \times 9 = 36i\) - \(4i \times (-3i) = -12i^2\)

ونتذكر أن:

\[ i^2=-1 \]

إذن:

\[ -12i^2=-12(-1)=12 \]

ثم نجمع الحدود المتشابهة:

- الجزء الحقيقي:

\[ 18+12=30 \]

- الجزء التخيلي:

\[ -6i+36i=30i \]

فيكون الناتج النهائي:

\[ 30+30i \]

قسمة الأعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب على عدد مركب، فإن الهدف هو التخلص من الجزء التخيلي في المقام.

ولتحقيق ذلك نضرب البسط والمقام في **مرافق المقام**.

فإذا كان المقام على الصورة:

\[ a+bi \]

فإن مرافقه هو:

\[ a-bi \]

مثال

إذا كان لدينا:

\[ \frac{2i}{3+6i} \]

فنضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

\[ 3-6i \]

فتصبح:

\[ \frac{2i(3-6i)}{(3+6i)(3-6i)} \]

تبسيط البسط

نوزع الضرب:

- \(2i \times 3 = 6i\) - \(2i \times (-6i) = -12i^2\)

وبما أن:

\[ i^2=-1 \]

فإن:

\[ -12i^2=12 \]

إذن يصبح البسط:

\[ 12+6i \]

تبسيط المقام

يمكن حساب المقام باستخدام فرق بين مربعين:

\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]

فتصبح:

\[ 3^2-(6i)^2 \]

أي:

\[ 9-36i^2 \]

وبما أن:

\[ i^2=-1 \]

فإن:

\[ 9-36(-1)=9+36=45 \]

ويمكن أيضًا الوصول إلى النتيجة نفسها بالتوزيع المباشر.

كتابة الناتج بالصورة القياسية

يصبح الناتج:

\[ \frac{12+6i}{45} \]

ثم نفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي:

\[ \frac{12}{45}+\frac{6}{45}i \]

وبتبسيط الكسور بقسمة البسط والمقام على 3 نحصل على:

\[ \frac{4}{15}+\frac{2}{15}i \]

الخلاصة

- عند ضرب الأعداد المركبة نستخدم التوزيع، مع تذكر أن:

\[ i^2=-1 \]

- بعد الضرب نجمع الأجزاء الحقيقية معًا، والأجزاء التخيلية معًا. - عند القسمة نضرب البسط والمقام في **مرافق المقام** للتخلص من الجزء التخيلي. - ثم نكتب الناتج في الصورة القياسية:

\[ a+bi \]

حيث \(a\) هو الجزء الحقيقي، و\(bi\) هو الجزء التخيلي.