المعادلات التربيعية
الرياضيات — الجبر
لأن (−2)² = 4 و (+2)² = 4 كلاهما يحقق المعادلة
— مثال ٢:
— مثال ٣:
— تأكد من الإشارات عند تحديد قيم a و b و c.
| الطريقة | متى تُستخدم |
|---|---|
| الجذر التربيعي | عندما تكون المعادلة من شكل x² = k |
| التحليل للعوامل | عندما يوجد عامل مشترك واضح |
| القانون العام | يصلح لجميع المعادلات التربيعية |
— الجذر التربيعي: للمعادلات من شكل x² = k — النتيجة x = ±√k.
— التحليل: أخرج العامل المشترك ثم طبّق قانون الضرب = صفر.
— القانون العام: رتّب المعادلة أولاً ثم حدّد a و b و c بعناية مع الإشارات.
— التحقق دائماً ضروري: عوّض الحلين في المعادلة الأصلية.
المعادلات التربيعية — مسائل محلولة
الرياضيات — الجبر
| الخطوة | العملية |
|---|---|
| ١ — المعاملات | حدّد a و b و c من المعادلة مع الإشارات |
| ٢ — القانون | عوّض في x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a |
| ٣ — المميز | احسب b² − 4ac داخل الجذر أولاً |
| ٤ — الحلان | x₁ بالإشارة + و x₂ بالإشارة − |
— المميز الموجب: يعطي حلين حقيقيين مختلفين كما في كلتا المسألتين.
— التبسيط: بسّط الكسور دائماً في النتيجة النهائية.
— التحقق: عوّض كل حل في المعادلة الأصلية للتأكد.
اختبار: المعادلات التربيعية
1 / 10في هذا الدرس سنتعرف على **المعادلة التربيعية**، وهي المعادلة التي يكون أعلى أس للمتغير فيها يساوي **2**.
عدد حلول المعادلة
بما أن أعلى أس في المعادلة التربيعية يساوي 2، فإنها تمتلك **حلين**.
وبشكل عام:
- إذا كان أعلى أس يساوي 1، فالمعادلة لها حل واحد. - إذا كان أعلى أس يساوي 2، فلها حلان. - إذا كان أعلى أس يساوي 3، فلها ثلاثة حلول، وهكذا.
معادلة تربيعية بسيطة
إذا كانت المعادلة:
\[ x^2=4 \]
فنأخذ الجذر التربيعي للطرفين مباشرة، فنحصل على:
\[ x=2 \]
أو
\[ x=-2 \]
لأن:
- \(2^2=4\) - \((-2)^2=4\)
وبذلك نحصل على الحلين.
التحليل باستخدام العامل المشترك
إذا كانت المعادلة:
\[ x^2-3x=0 \]
وبما أن الطرف الأيمن يساوي صفرًا، فيمكن تحليلها بسهولة بأخذ \(x\) عاملًا مشتركًا:
\[ x(x-3)=0 \]
ولكي يكون حاصل الضرب صفرًا، فلا بد أن يكون أحد العاملين مساويًا للصفر.
إذن:
- \(x=0\) - أو \(x-3=0\)، ومنها \(x=3\)
وبذلك نحصل أيضًا على حلين.
القانون العام للمعادلة التربيعية
مهما اختلف شكل المعادلة التربيعية، يمكن حلها باستخدام **القانون العام**.
ويكون:
- \(a\) هو معامل \(x^2\). - \(b\) هو معامل \(x\). - \(c\) هو الحد الثابت.
ترتيب المعادلة قبل التعويض
قبل استخدام القانون العام، يجب كتابة المعادلة بالشكل القياسي:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
أي نرتب الحدود من أعلى أس إلى أصغر أس، ويكون الطرف الآخر مساويًا للصفر.
مثال
إذا كانت المعادلة:
\[ x^2=4 \]
فننقل العدد 4 إلى الطرف الآخر:
\[ x^2-4=0 \]
فتصبح معاملات القانون:
- \(a=1\) - \(b=0\) لأنه لا يوجد حد يحتوي على \(x\). - \(c=-4\)
ثم نعوض في القانون العام لنحصل على نفس الحلين:
\[ x=2 \quad \text{أو} \quad x=-2 \]
مثال آخر
إذا كانت المعادلة:
\[ 2x^2+4x-2=0 \]
فإن معاملات القانون تكون:
- \(a=2\) - \(b=4\) - \(c=-2\)
وبعد تحديد قيم \(a\)، و\(b\)، و\(c\)، تصبح المعادلة جاهزة للتعويض في القانون العام واستخراج الحلين.
الخلاصة
- المعادلة التربيعية هي التي يكون أعلى أس فيها للمتغير مساويًا لـ **2**. - تمتلك دائمًا **حلين**، قد يكونان متساويين أو مختلفين. - إذا كان الطرف الآخر يساوي صفرًا، فقد يمكن تحليلها بالعامل المشترك. - يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام **القانون العام** بعد ترتيبها على الصورة:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
ثم تحديد قيم \(a\)، و\(b\)، و\(c\) والتعويض بها في القانون العام.
عن هذا الدرس
شرح درس المعادلة التربيعية وطرق حلها: القانون العام-إكمال المربع-العامل المشترك في ثاني ثانوي، الفصل الأول، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الأول لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
