الجذور والأصفار

١ الأصفار، والعوامل، والجذور، والمقاطع

إذا كانت P(x) دالة كثيرة حدود، وكان c صفرًا لها، فإن العبارات الآتية متكافئة:

صفر الدالة

c صفر للدالة P(x)

جذر المعادلة

c جذر لـ P(x) = 0

عامل كثيرة الحدود

(x − c) عامل لـ P(x)

نقطة تقاطع مع المحور

(c, 0) نقطة تقاطع P(x) مع محور x

كثيرة الحدود

P(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12

الأصفار −3، −2، 1، 2

العوامل

(x+3)(x+2)(x-1)(x-2)

نقاط التقاطع مع x (−3,0)، (−2,0)، (1,0)، (2,0)

٢ النظرية الأساسية في الجبر ونتيجتها

النظرية الأساسية في الجبر

كل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.

نتيجة النظرية

لمعادلة كثيرة حدود من الدرجة n بالضبط n جذرًا من الأعداد المركبة بما في ذلك الجذور المكررة.

x^3 + 2x^2 + 6 = 0

3 جذور

4x^4 - 3x^3 + 5x - 6 = 0

4 جذور

-2x^5 - 3x^2 + 8 = 0

5 جذور

٣ مثال 1أ — جذر حقيقي مكرر

المعادلة

x^2 + 6x + 9 = 0

حلّل إلى العوامل

(x+3)^2 = 0

خذ الجذر التربيعي

x + 3 = 0

الحل

x = -3

جذر حقيقي واحد مكرر مرتين: x = −3

العامل (x + 3) مكرر مرتين في التحليل، لذا −3 جذر مكرر. التمثيل البياني يمس المحور x عند x = −3 دون أن يقطعه.

٤ مثال 1ب — جذور حقيقية وتخيلية

المعادلة

x^3 + 25x = 0

حلّل إلى العوامل

x(x^2 + 25) = 0

خاصية الضرب الصفري x = 0 أو x² + 25 = 0

من x² + 25 = 0

x^2 = -25

الجذر التربيعي

x = \pm\sqrt{-25} = \pm 5i

جذر حقيقي: x = 0 | جذران تخيليان: x = 5i، x = −5i

الدالة من الدرجة الثالثة: لها 3 جذور. التمثيل البياني يقطع المحور x عند x = 0 فقط.

٥ قانون ديكارت للإشارات

إذا كانت P(x) دالة كثيرة حدود معاملات حدودها أعداد حقيقية، فإن:

الأصفار الحقيقية الموجبة

تساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات P(x)، أو أقل منه بعدد زوجي

الأصفار الحقيقية السالبة

تساوي عدد مرات تغير إشارة معاملات P(−x)، أو أقل منه بعدد زوجي

٦ مثال 2 — تطبيق قانون ديكارت

الدالة

f(x) = x^6 + 3x^5 - 4x^4 - 6x^3 + x^2 - 8x + 5

تغيرات إشارة f(x) + → + → − → − → + → − → + ⟹ 4 تغيرات

الأصفار الموجبة الممكنة 4 أو 2 أو 0

تغيرات إشارة f(−x) + → − → − → + → + → + → + ⟹ 2 تغيرات

الأصفار السالبة الممكنة 2 أو 0

الأصفار الموجبة	الأصفار السالبة	الأصفار التخيلية
4	2	0
4	0	2
2	2	2
2	0	4
0	2	4
0	0	6

٧ نظرية الأصفار المركبة المترافقة

إذا كان a + bi صفرًا لدالة كثيرة حدود معاملاتها أعداد حقيقية، فإن a − bi صفر لها أيضًا.

a + bi \implies a - bi

إذا كان a + bi صفرًا فإن a − bi صفر أيضًا

مثال: إذا كان 3 + 4i صفرًا للدالة

f(x) = x^3 - 4x^2 + 13x - 50

فإن 3 − 4i صفر للدالة أيضًا.

٨ مثال 3 — كتابة دالة كثيرة حدود من أصفارها

الأصفار المعطاة −1 ، 5 − i

بالنظرية المترافقة 5 + i صفر أيضًا

العوامل

(x+1)\,[x-(5-i)]\,[x-(5+i)]

أعد تجميع الحدود

(x+1)\,[(x-5)+i]\,[(x-5)-i]

الفرق بين مربعين

(x+1)\,[(x-5)^2 - i^2]

بسّط

(x+1)\,(x^2-10x+26)

اضرب

x^3 - 9x^2 + 16x + 26

P(x) = x^3 - 9x^2 + 16x + 26

أصفارها: −1 ، 5 + i ، 5 − i ✓

٩ رسم تفاعلي — الجذور والأصفار

الجذور الحقيقية: —

نطاق العرض −6 إلى 6

١٠ ملخص الدرس

— c صفر للدالة P(x) ⟺ c جذر للمعادلة ⟺ (x−c) عامل ⟺ (c,0) نقطة تقاطع مع المحور.
— النظرية الأساسية: كل معادلة كثيرة حدود لها جذر مركب واحد على الأقل.
— معادلة الدرجة n لها بالضبط n جذرًا في مجموعة الأعداد المركبة.
— قانون ديكارت: يحدد العدد الممكن للأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة.
— نظرية الأصفار المترافقة: إذا كان a+bi صفرًا فـ a−bi صفر أيضًا.

الشرح

الجذور والأصفار