الحوادث المستقلة والغير مستقلة VS المتنافية والغير متنافية

مستقلة / غير مستقلة

أكثر من حدث — نضرب ×

متنافية / غير متنافية

حدث واحد بدائل — نجمع +

القاعدة الذهبية

هل عندك أكثر من حدث؟

١ القاعدة الذهبية للتمييز

أكثر من حدث؟ ← نعم

× نضرب

مستقلة أو غير مستقلة — الناتج يقل ↓

حدث واحد بدائل؟ ← لا

+ نجمع

متنافية أو غير متنافية — الناتج يزيد ↑

"و" (AND)أكثر من حدث ← اضرب ← احتمالية تقل

"أو" (OR)بدائل في حدث واحد ← اجمع ← احتمالية تزيد

٢ التعريفات والقوانين

مستقلة

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

غير مستقلة

P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)

متنافية

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

غير متنافية

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

— الحوادث المتنافية: P(A∩B) = 0 لأنهما لا يحدثان معاً أبداً.

٣ مثال الكور — تفاعلي

صندوق فيه ٣ كور: خضراء وصفراء وحمراء. اضغط لمقارنة الحالتين:

الحوادث المستقلة: سحبتان — نضرب: 1/3 × 1/3 = 1/9

٤ أمثلة محلولة

مثال ١ — مستقلة: الأولى خضراء والثانية صفراء:

الوضعحدثان — كلمة "و" — نضرب

الحساب

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

1/9 ≈ 11.1% — تقلّ لأننا نضرب

مثال ٢ — متنافية: سحبة واحدة خضراء أو صفراء:

الوضعحدث واحد — كلمة "أو" — نجمع

الحساب

\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

2/3 ≈ 66.7% — تزيد لأننا نجمع

مثال ٣ — متنافية حدث مؤكد: ٥ حمراء و٣ زرقاء:

الحساب

\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1

المعنىجميع الكرات إما حمراء أو زرقاء

P = 1 — حدث مؤكد

∑ جدول المقارنة الشامل

✓ الخلاصة

— السؤال المفتاح: "هل عندك أكثر من حدث؟" — نعم ← اضرب، لا ← اجمع.

— مستقلة: P(A∩B) = P(A)×P(B) — غير مستقلة: P(A∩B) = P(A)×P(B|A).

— متنافية: P(A∪B) = P(A)+P(B) — غير متنافية: تطرح التقاطع.

— الضرب يُقلّل — الجمع يُكبّر — هذا الفرق أساس كل مسائل الاحتمالات.

الشرح