الحادثة المتممة

الشرح

الحادثة المتممة

رياضيات — الاحتمالات

الهدف: فهم مفهوم الحادثة المتممة وتطبيق القانون P(A') = 1 − P(A) لحساب احتمال عدم وقوع حدث.

الحادثة المتممة A'
احتمال عدم وقوع A
القانون
P(A') = 1 − P(A)
المجموع دائماً = 1
P(A) + P(A') = 1
١

تعريف الحادثة المتممة

— الحادثة المتممة هي احتمال عدم وقوع حدث معين.

— تُرمز بـ A' أو Aᶜ وتُقرأ "A مكمّل".

P(A) + P(A') = 1 \qquad \Rightarrow \qquad P(A') = 1 - P(A)

لماذا يساوي المجموع 1؟

— مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة يساوي دائماً 1 (أي 100%).

— إما أن يقع الحدث A أو لا يقع — لا توجد حالة ثالثة.

٢

مثال النرد — تفاعلي

— اضغط على أحد الأحداث لرؤية الحادثة المتممة على وجوه النرد:

٣

خطوات الحل العامة

— الخطوة ١: حدّد الحدث الأصلي A.

— الخطوة ٢: احسب P(A).

— الخطوة ٣: طبّق القانون:

P(A') = 1 - P(A)

— الخطوة ٤ (اختياري): تحقق بعدّ النتائج المعاكسة مباشرةً.

متى تستخدم طريقة المتمم؟

— عندما يحتوي السؤال على كلمة "لا" أو "عدم".

— عندما تكون النتائج غير المرغوبة أكثر من المرغوبة ويصعب عدّها.

٤

أمثلة محلولة

— مثال ١: كيس فيه ٨ كرات حمراء و١٢ كرة زرقاء. ما احتمال عدم سحب كرة حمراء؟

— المجموع = ٢٠ كرة، الحمراء = ٨.

— احتمال سحب كرة حمراء:

P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

— احتمال عدم سحب كرة حمراء:

P(A') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

P(A') = 3/5 = 60%

— مثال ٢: رمي نردين. ما احتمال ألّا يكون مجموعهما ٧؟

— إجمالي النتائج = ٦ × ٦ = ٣٦.

— طرق الحصول على مجموع ٧: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) = ٦ طرق.

— احتمال أن يكون المجموع 7:

P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

— احتمال ألّا يكون المجموع 7:

P(A') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

P(A') = 5/6 ≈ 83.3%

— مثال ٣: صندوق فيه ١٥ كرة: ٦ حمراء، ٤ زرقاء، ٥ خضراء. ما احتمال عدم سحب كرة زرقاء؟

— احتمال سحب كرة زرقاء:

P(A) = \frac{4}{15}

— احتمال عدم سحب كرة زرقاء:

P(A') = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}

— التحقق: الكرات غير الزرقاء = ٦ + ٥ = ١١ ← 11/15 ✓

P(A') = 11/15 ≈ 73.3%

٥

خصائص الحادثة المتممة

— متمم المتمم: متمم A' هو A نفسه.

(A')' = A

— متمم الحدث المؤكد: احتمال ما لا يمكن حدوثه إطلاقاً = صفر.

P(\Omega') = 0 \qquad P(\emptyset') = 1

جدول أمثلة على النرد

الحدث A P(A) الحادثة المتممة A' P(A')
ظهور الرقم 3 1/6 عدم ظهور 3 5/6
ظهور عدد زوجي 3/6 = 1/2 ظهور عدد فردي 1/2
رقم أكبر من 4 2/6 = 1/3 رقم ≤ 4 2/3
رقم من مضاعفات 3 2/6 = 1/3 ليس مضاعف 3 2/3

الخلاصة

— الحادثة المتممة A': احتمال عدم وقوع الحدث A.

— القانون: P(A') = 1 − P(A) — المجموع دائماً ١.

— استراتيجية ذكية: استخدم المتمم عندما يكون حساب P(A) أسهل من عدّ النتائج المعاكسة مباشرةً.

— علامة السؤال: كلمتا "لا" أو "عدم" في السؤال = استخدم قانون المتمم.

الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...