تجربة ذات الحدين

نتيجتان فقط

نجاح أو فشل

مستقلة وثابتة

p ثابت في كل محاولة

القيمة المتوقعة

μ = n × p

١ شروط التوزيع ذو الحدين

نتيجتاننجاح أو فشل في كل محاولة

n ثابتعدد المحاولات معلوم مسبقاً

p ثابتنفس الاحتمالية في كل محاولة

استقلاليةنتيجة كل محاولة لا تؤثر على الأخرى

— رمي قطعة معدنية n مرة (p = 0.5)
— فحص n منتج في خط الإنتاج (p = 0.95)
— إجابة n سؤال صح/خطأ (p = 0.7)

٢ قانون التوزيع ذو الحدين

P(X = x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot q^{n-x}

nعدد المحاولات

xعدد النجاحات المطلوبة

pاحتمال النجاح في كل محاولة

q = 1−pاحتمال الفشل

\mu = np \qquad \sigma^2 = npq

٣ مثال — القطعة المعدنية ٦ مرات

n=6, x=3, p=0.5

P(X=3) = \binom{6}{3}(0.5)^3(0.5)^3 = 0.3125

P(X=3) = 31.25%

محاكاة — اضغط لرمي القطعة وقارن النتيجة الفعلية بالنظرية:

اضغط للبدء

٤ حاسبة التوزيع التفاعلية

أدخل المعطيات لحساب الاحتمالية ورسم التوزيع كاملاً:

n = x = p =

P(X=3) = C(6,3)×0.5³×0.5³ = 31.2500%

٥ أمثلة محلولة

مثال ١ — نرد 10 مرات، ظهور 6 مرتين بالضبط:

n=10, x=2, p=1/6

P(X=2) = \binom{10}{2}\!\left(\tfrac{1}{6}\right)^{\!2}\!\left(\tfrac{5}{6}\right)^{\!8} \approx 0.2907

P(X=2) ≈ 29.1%

مثال ٢ — خط إنتاج (عيب 5%)، فحص 20 منتج، منتج معيب واحد بالضبط:

n=20, x=1, p=0.05

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} \approx 0.3774

P(X=1) ≈ 37.7%

∑ ملخص التوزيع ذو الحدين

المكوّن	الرمز	المعنى
التوافيق	C(n,x)	عدد طرق توزيع x نجاح في n محاولة
احتمال النجاح	pˣ	احتمال x نجاح متتالي
احتمال الفشل	qⁿ⁻ˣ	احتمال (n−x) فشل
القيمة المتوقعة	μ = np	متوسط عدد النجاحات

✓ الخلاصة

— الشروط: نتيجتان + n ثابت + p ثابت + استقلالية.

— القانون: P(X=x) = C(n,x)·pˣ·qⁿ⁻ˣ — ثلاثة مكونات تُضرب معاً.

— C(n,x): عدد الطرق الممكنة لتوزيع x نجاح على n محاولة.

— القيمة المتوقعة: μ = np — كلما زاد p أو n زاد متوسط النجاحات.

الشرح